Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Campo Elétrico, Densidade de Carga, Campos Elétricos e Corpos Carregados, Lei de Gauss

Uma carga positiva Q é distribuída uniformemente pelo volume de cada uma de duas esferas isolantes de raio R . Como mostra a figura, uma das esferas está centrada na origem e a outra está centrada em x = 2 R .

Encontre o vetor campo elétrico resultante devido a essas esferas nos seguintes pontos:

a ) P 1 de coordenadas x ,   y = 0 ,   0 ;

b ) P 2 de coordenadas x ,   y = R / 2 ,   0 ;

c ) P 3 de coordenadas x ,   y = 0 ,   R ;

Passo 1

a ) P 1 de coordenadas x ,   y = 0 ,   0 ;

Para qualquer ponto, o campo elétrico será a soma vetorial dos campos elétricos gerados por cada esfera, da esquerda e da direita.

E → = E → e + E → d

Devido à simetria esférica, o campo elétrico gerado por uma esfera carregada tem direção radial.

O ponto P 1 = 0,0 encontra-se no centro da esfera da esquerda, logo, em P 1 :

E → e = 0

O campo elétrico gerado pela esfera da direita é determinado através da lei de Gauss, que é dada por:

∯ G   E → d ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Como o ponto P 1 está a uma distância 2 R do centro da esfera da direita, a nossa gaussiana aqui será uma esfera de raio 2 R , que engloba toda a esfera da direita.

Logo:

Q i n t = Q

E podemos simplificar a lei de Gauss para:

E d 4 π 2 R 2 = Q ϵ 0 → 16 π R 2 E d = Q ϵ 0

E d = Q 16 π ϵ 0 R 2

Como concluímos anteriormente, E → d tem direção radial, logo, em P 1 :

E → d = - Q 16 π ϵ 0 R 2 x ^

Finalmente:

E → 1 = E → e + E → d

E → 1 = - Q 16 π ϵ 0 R 2 x ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) P 2 de coordenadas x ,   y = R / 2 ,   0 ;

O ponto P 2 encontra-se dentro da esfera da esquerda. Como se trata de uma esfera isolante, o campo elétrico gerado pela esfera da esquerda no ponto P 2 será diferente de zero.

Tudo o que falamos antes sobre a simetria do problema, continua valendo aqui. Então, novamente, vamos usar a lei de Gauss para determinar o campo elétrico gerado pela esfera da esquerda.

∯ G   E → e ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Aqui, a gaussiana pra E e será uma esfera de raio R / 2 , que envolve apenas parte da esfera da esquerda, logo:

E e 4 π R 2 2 = Q i n t ϵ 0 → π R 2 E e = Q i n t ϵ 0

E e = Q i n t π ϵ 0 R 2

Como se trata de uma esfera isolante, para determinar a carga interna, vamos usar uma regra de três, associando os volumes com as cargas.

Q i n t 4 π R 2 3 3 = Q 4 π R 3 3

Q i n t R 2 3 = Q R 3 → Q i n t R 3 8 = Q R 3

8 Q i n t R 3 = Q R 3

Q i n t = Q 8

Finalmente:

E e = Q 8 π ϵ 0 R 2

Como E → e tem direção radial:

E → e = Q 8 π ϵ 0 R 2 x ^

Passo 3

Para a esfera da direita também vamos usar a lei de Gauss:

∯ G   E → d ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Como o ponto P 2 está a uma distância de 3 R / 2 do centro da esfera da direita, a nossa gaussiana aqui será uma esfera de raio 3 R / 2 , que envolve toda a esfera da direita, logo:

E d 4 π 3 R 2 2 = Q ϵ 0 → 9 π R 2 E d = Q ϵ 0

E d = Q 9 π ϵ 0 R 2

Logo, em P 2 :

E → d = - Q 9 π ϵ 0 R 2 x ^

Sendo assim:

E → 2 = E → d + E → e

E → 2 = - Q 9 π ϵ 0 R 2 x ^ + Q 8 π ϵ 0 R 2 x ^

E → 2 = Q 72 π ϵ 0 R 2 x ^

Passo 4

c ) P 3 de coordenadas x ,   y = 0 ,   R ;

O ponto P 3 está localizado na parte de cima da esfera da esquerda.

Para a esfera da esquerda, a gaussiana será uma esfera de raio R , que engloba toda a esfera de carga Q , logo:

E e 4 π R 2 = Q ϵ 0

E e = Q 4 π ϵ 0 R 2

Como P 3 está localizado na parte de cima da esfera da esquerda:

E → e = Q 4 π ϵ 0 R 2 y ^

Para a esfera da direita, a gaussiana será uma esfera cujo raio é a distância do centro da esfera da direita ao ponto P 3 , que será dado por:

r = 2 R 2 + R 2 = 4 R 2 + R 2 = 5 R 2

r = 5 R

Logo:

E d 4 π 5 R 2 = Q ϵ 0

E d = Q 20 π ϵ 0 R 2

Pra determinar E → d , antes, vamos dar uma olhada na situação:

Daqui podemos tirar que:

E → d = Q 20 π ϵ 0 R 2 - cos ⁡ θ x ^ + sen ⁡ θ y ^

Onde:

cos ⁡ θ = 2 R 2 R 2 + R 2 → cos ⁡ θ = 2 5

cos ⁡ θ = 2 5 5

sen ⁡ θ = R 2 R 2 + R 2 → sen ⁡ θ = 1 5

sen ⁡ θ = 5 5

Logo: E → d = Q 20 π ϵ 0 R 2 - 2 5 5 x ^ + 5 5 y ^

Finalmente:

E → 3 = E → d + E → e

E → 3 = Q 20 π ϵ 0 R 2 - 2 5 5 x ^ + 5 5 y ^ + Q 4 π ϵ 0 R 2 y ^

E → 3 = Q 4 π ϵ 0 R 2 - 2 5 2 5 x ^ + 1 + 5 2 5 y ^

Resposta

a )

E → 1 = - Q 16 π ϵ 0 R 2 x ^

b )

E → 2 = Q 72 π ϵ 0 R 2 x ^

c )

E → 3 = Q 4 π ϵ 0 R 2 - 2 5 25 x ^ + 1 + 5 25 y ^

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