Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Densidade de Carga, Lei de Gauss, Campo em Condutores

Uma casca esférica condutora de raio interno r 1 e raio externo r 2 está carregada com carga elétrica positiva Q . No centro da casca, na cavidade interna, há uma carga puntiforme q .

a ) Determine a densidade superficial de carga σ 1 na superfície interna do condutor.

b ) Calcule o campo elétrico na região externa do condutor.

Passo 1

a ) Determine a densidade superficial de carga σ 1 na superfície interna do condutor.

Se tivéssemos apenas a casca esférica carregada com carga Q , toda essa carga se encontraria na superfície externa da casca, de forma que a superfície interna teria carga nula.

Mas assim que colocamos a carga pontual q no interior da casca esférica, uma determinada quantidade de carga será atraída pela carga pontual, assim como outra determinada quantidade de carga vai ser repelida pela mesma.

No equilíbrio eletrostático, a carga atraída para a superfície interna Q 1 deve ser igual, em módulo, à carga da esfera q , mas com o sinal oposto:

Q 1 = - q

Por definição, a densidade superficial de carga é dada por:

σ 1 = Q 1 A 1

Onde A 1 é a área da superfície interna da camada esférica.

A 1 = 4 π r 1 2

Logo:

σ 1 = - q 4 π r 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Calcule o campo elétrico na região externa do condutor.

Pra calcular o campo elétrico, vamos ter que recorrer à Lei de Gauss, dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Com a simetria esférica do problema, podemos simplificar a Lei de Gauss para:

E ∯ G   d A = Q i n t ϵ 0

E A = Q i n t ϵ 0

Onde A é a área da nossa gaussiana que, por conta da geometria esférica do problema, também é uma esfera, logo:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

Onde r > r 2 para podermos calcular o campo elétrico na região externa do condutor.

E = 1 4 π ϵ 0 Q i n t r 2

Onde Q i n t é a soma de todas as cargas que estão englobadas pela gaussiana. Nesse caso:

Q i n t = Q + q

Logo:

E = 1 4 π ϵ 0 Q + q r 2

Nesse tipo de geometria, o campo elétrico aponta sempre na direção radial, logo:

E → = E   r ^

E → = 1 4 π ϵ 0 Q + q r 2 r ^

Resposta

a )

σ 1 = - q 4 π r 1 2

b )

E → = 1 4 π ϵ 0 Q + q r 2 r ^

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