Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Lei de Gauss

Uma casca esférica de raio R 1 tem uma carga total q 1 , uniformemente distribuída em sua superfície. Uma segunda casca esférica de raio R 2 , concêntrica com a primeira tem carga q 2 , também uniformemente distribuída em sua superfície.

a ) Utilize a Lei de Gauss para determinar o vetor campo elétrico nas regiões onde: r < R 1 , R 1 < r < R 2 e r > R 2 ;

b ) Qual seria a relação entre as cargas q 1 / q 2 e seus sinais relativos para que o campo elétrico fosse nulo para r > R 2 ?

c ) Esquematize as linhas de forças de campo elétrico para a situação b quando a carga q 1 é positiva;

Passo 1

a ) Utilize a Lei de Gauss para determinar o vetor campo elétrico nas regiões onde: r < R 1 , R 1 < r < R 2 e r > R 2 ;

A Lei de Gauss é dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Para problemas de geometria esférica, podemos simplificar a Lei de Gauss para:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

Onde 4 π r 2 corresponde à área superficial da nossa gaussiana que, para problemas de geometria esférica, também é uma esfera.

E → = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2   r ^

Ou seja, para cada caso, a única coisa que temos que fazer é determinar o valor de Q i n t .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  • r < R 1
  • Para essa região, não temos nenhuma carga interna, logo:

    Q i n t = 0

    E → = 0

  • R 1 < r < R 2
  • Nessa região, a única carga que aparece dentro da nossa gaussiana é a carga q 1 . Sendo assim:

    Q i n t = q 1

    E → = q 1 4 π ϵ 0 r 2   r ^

  • r > R 2

Essa região engloba as duas cascas esféricas, portanto:

Q i n t = q 1 + q 2

E → = q 1 + q 2 4 π ϵ 0 r 2   r ^

Passo 3

b ) Qual seria a relação entre as cargas q 1 / q 2 e seus sinais relativos para que o campo elétrico fosse nulo para r > R 2 ?

O campo elétrico nessa região é dado por:

E → = q 1 + q 2 4 π ϵ 0 r 2   r ^

Assim, tem duas formas do campo elétrico ser nulo. A primeira é se r → ∞ (que não nos interessa)... a segunda é se:

q 1 + q 2 = 0

q 1 = - q 2

q 1 q 2 = - 1

Passo 4

c ) Esquematize as linhas de forças de campo elétrico para a situação b quando a carga q 1 é positiva;

Para a situação b , nós teríamos campo elétrico somente na região R 1 < r < R 2 , portanto, para q 1 positivo:

Resposta

a )

E → = q 1 + q 2 4 π ϵ 0 r 2   r ^

b )

q 1 q 2 = - 1

c )

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