Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Lei de Gauss, Campo em Condutores

Um cilindro circular muito longo de raio a , isolante, com densidade volumétrica uniforme de cargas iguais a ρ > 0 , é concêntrico a uma camada cilíndrica condutora de raio interno b e raio externo c com carga total zero.

O campo elétrico no ponto C imediatamente fora do condutor vale E 1 i → .

Nos itens abaixo despreze o campo elétrico e as cargas nas extremidades do cilindro e da camada cilíndrica.

  1. Calcule o campo elétrico para r < a e b < r < c .
  2. Calcule o campo elétrico para r > c .
  3. Calcule as densidades superficiais de carga σ c e σ b nas superfícies externa e interna da camada cilíndrica condutora em função de E 1 , ϵ 0 , b e c .

Passo 1

  1. Calcule o campo elétrico para r < a e b < r < c .
  2. Sim, eu sei que você já está pensando nisso... e sim, é o que vamos usar pra resolver o problema... lei de Gauss.

    Beleza, antes de começar, vale a pena falar brevemente sobre isolantes e condutores.

    Isolantes possuem uma resistência muito alta, R → ∞ , assim, mesmo no equilíbrio eletrostático, as cargas no sem interior continuam com a mesma distribuição, porque a resistência é tão alta que as cargas “não conseguem se reorganizar”.

    Condutores possuem uma resistência muito baixa, R → 0 , isso faz com que, no equilíbrio eletrostático as cargas, nesse caso, vão estar na superfície externa e interna (no caso de uma carga localizada dentro do condutor, como a desse problema) do cilindro. Isso acontece porque, como a resistência é muito pequena “elas conseguem se reorganizar”.

    A figura abaixo ilustra o que acontece.

    Agora sim, vamos seguir em frente.

    Vamos calcular o campo elétrico em cada região separadamente.

    Passo 2

  • r < a :
  • Vamos usar a lei de Gauss, nesse caso, a nossa gaussiana vai ser um cilindro de raio r < a e comprimento L .

    ∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

    E A = Q i n t ϵ 0

    Onda a área A é a área lateral da nossa gaussiana e Q i n t = ρ V , sendo V o volume da nossa gaussiana.

    2 π r L E = ρ V ϵ 0 = ρ π r 2 L ϵ 0

    2 π r L E = ρ π r 2 L ϵ 0

    E = ρ 2 ϵ 0 r

    Passo 3

  • b < r < c :

Lá vai uma dica pra você guardar no coração, beleza?

No interior de um condutor, o campo elétrico é sempre igual a zero, no equilíbrio eletrostático.

Logo:

E = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  • Calcule o campo elétrico para r > c .
  • Aqui não tem muito erro, temos apenas que usar a lei de Gauss para sermos felizes.

    ∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

    E A = Q i n t ϵ 0

    Agora a nossa gaussiana será um cilindro de raio r > c e comprimento L . A área será a área lateral da nossa gaussiana cilíndrica.

    A = 2 π r L

    A carga interna será a carga do isolante cilíndrico de raio a :

    Q i n t = ρ V = ρ π a 2 L

    Seguindo o mesmo raciocínio que usamos anteriormente:

    2 π r L E = ρ π a 2 L ϵ 0

    E = ρ 2 ϵ 0 a 2 r

    Passo 3

  • Calcule as densidades superficiais de carga σ c e σ b nas superfícies externa e interna da camada cilíndrica condutora em função de E 1 , ϵ 0 , b e c .
  • A definição de densidade superficial de carga é dada por:

    σ = q A

    Mas se compararmos com a lei de Gauss, vemos que podemos igualar isso aqui com:

    q A = ϵ 0 E

    Logo:

    σ = ϵ 0 E

    O problema falou para a gente que na superfície de raio c , o campo elétrico E 1 , logo:

    σ c = ϵ 0 E 1

    Passo 4

    Bom, já sabemos que a carga total no condutor é nula, certo? Isso significa que:

    q c + q b = 0

    q b = - q c

    Novamente, podemos associar a carga com a densidade de carga:

    q = σ A = 2 π r L σ

    Substituindo na equação anterior:

    2 π b L σ b = - 2 π c L σ c

    σ b = - c b   σ c

    Agora não tem erro... agora é só substituir o σ c que encontramos no Passo 5.

    σ b = - c b ϵ 0 E 1

    Resposta

    1. Para r < a :
    2. E r = ρ 2 ϵ 0 r

      Para b < r < c :

      E → = 0 →

    3. E r = ρ 2 ϵ 0 a 2 r

    σ c = ϵ 0 E 1

    σ b = - c b ϵ 0 E 1

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