Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Considere uma casca cilíndrica isolante de altura “infinita”, raio interno R e raio externo 2 R . Ao longo desse cilindro existe uma carga distribuída homogeneamente com densidade volumétrica não uniforme ρ r = ρ 0 r 2 R 2 .

Nota: a figura mostra a seção transversal da casca cilíndrica.

a) Encontre o módulo do campo elétrico na região r < R .

b) Encontre o módulo do campo elétrico fora da casca 2 R < r .

c) Encontre o módulo do campo elétrico dentro da casca, R < r < 2 R .

Considere agora que a casca cilíndrica seja envolvida por uma outra casca cilíndrica condutora de raio interno 2 R e raio externo 3 R . A carga líquida da casca condutora é nula e o sistema já alcançou o equilíbrio eletrostático.

d) Encontre o módulo do campo elétrico na região 2 R < r < 3 R .

e) Encontre o módulo do campo elétrico na região r > 3 R .

Passo 1

Para resolver essa questão, antes de tudo vamos lembrar que como a casca cilíndrica é isolante, toda a carga está apenas em sua superfície. Agora precisamos escolher uma superfície gaussiana e calcular o campo elétrico através dela em cada região que o exercício pede ok?

A gente pode escolher como superfície gaussiana uma casca cilíndrica de raio r concêntrica à casca do exercício. O fluxo elétrico vai ser

ϕ = ∮ S E → ⅆ A →

Sabendo que a área da superfície de um cilindro é 2 π r L :

ϕ = E → 2 π r L

Agora é só relacionar esse fluxo à Lei de Gauss em cada região :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) Para r < R

Nessa região, a superfície gaussiana está dentro da casca cilíndrica, portanto, como a gente lembrou no passo 1, não há carga ali.

Na Lei de Gauss:

E → 2 π r L = Q i n t ε 0

E → 2 π r L = 0 ε 0

E → = 0

b) Para 2 R < r

Agora a nossa gaussiana está fora da casca cilíndrica, então a carga dentro da superfície vai ser a carga inteira que está na casca, ou seja

Q i n t = Q

Sendo assim

E → 2 π r L = Q ε 0

E → = Q ε 0 2 π r L

c) Para R < r < 2 R

Nesse caso, a carga dentro da superfície gaussiana vai ser dada por Q c = ρ V c

Onde V c é o volume da casca cilíndrica que está dentro da superfície, ou seja

V c = 4 π r 2 - R 2 L

Sendo assim

Q c = ρ 4 π r 2 - R 2 L

Como o exercício fala pra gente que ρ = ρ 0 r 2 R 2 :

Q c = ρ 0 r 2 R 2 4 π r 2 - R 2 L

Agora sim, vamos aplicar na Lei de Gauss

E → 2 π r L = ρ 0 r 2 R 2 4 π r 2 - R 2 L ε 0

E → = ρ 0 r R 2 2 r 2 - R 2 ε 0

Passo 3

d) Nesse caso, estamos numa região dentro da casca cilíndrica condutora. Masss lembra que dentro de qualquer material condutor o campo elétrico é nulo?? Logo:

E → = 0

Passo 4

e) Agora estamos do lado de fora das duas cascas. Então a carga dentro da nossa superfície gaussiana é a carga da casca cilíndrica isolante + a carga da condutora, ou seja:

Q i n t = Q + 0 = Q

Aplicando na Lei de Gauss, vamos chegar que

E → 2 π r L = Q ε 0

E → = Q ε 0 2 π r L

Resposta

E → = 0 ,   r < R Q ε 0 2 π r L ,   r > 2 R ρ 0 r R 2 2 r 2 - R 2 ε 0 , R < r < 2 R   0 ,   2 R < r < 3 R Q ε 0 2 π r L ,   r > 3 R

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