Uma distribuição de cargas, esfericamente simétrica, tem densidade volumétrica

ρ r = ρ 0 r R r ≤ R 0 r > R

onde ρ 0 é uma constante positiva.

a ) Calcule a carga Q r contida em uma esfera de raio r concêntrica com a distribuição de carga. Calcule a carga total da distribuição.

b ) Calcule o vetor campo elétrico para r < R .

c ) Calcule o vetor campo elétrico para r > R .

Passo 1

a ) Calcule a carga Q r contida em uma esfera de raio r concêntrica com a distribuição de carga. Calcule a carga total da distribuição.

A carga está relacionada com a densidade volumétrica de carga através da relação:

Q r = ∫ ρ r d V

Como estamos trabalhando com uma esfera, o elemento de volume d V será:

d V = 4 π r 2 d r

Substituindo a expressão de ρ r que o problema nos deu, teremos:

Q r = ∫ 0 r ρ 0 r R 4 π r 2 d r = 4 π ρ 0 R ∫ 0 r r 3   d r

Q r = 4 π ρ 0 R r 4 4 0 r

Q r = π ρ 0 r 4 R

A carga total da distribuição é dada quando r = R . Assim:

Q R = π ρ 0 R 4 R

Q R = π ρ 0 R 3

Passo 2

b ) Calcule o vetor campo elétrico para r < R .

Pra calcular o campo elétrico, vamos ter que recorrer à lei de Gauss, dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Por conta da simetria do problema, o campo elétrico tem direção radial.

Além disso, podemos dar uma explorada na simetria do problema, também pra simplificar a expressão da lei de Gauss. Por conta da simetria esférica, podemos reescrevê-la como:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

Onde Q i n t é a quantidade de carga envolvida pela nossa amperiana. Logo:

Q i n t = Q r

Opa! No item anterior nós já descobrimos que, para r < R , a carga tem a seguinte expressão:

Q r = π ρ 0 r 4 R

Sendo assim:

E 4 π r 2 = π ρ 0 r 4 R ϵ 0

E = ρ 0 r 2 4 R ϵ 0

Finalmente:

E → = ρ 0 r 2 4 R ϵ 0 r ^

Passo 3

c ) Calcule o vetor campo elétrico para r > R .

Nesse caso, a ideia é a mesma de antes, a única diferença aqui é que, agora, a gaussiana engloba toda a esfera, logo:

Q i n t = Q R

Q i n t = π ρ 0 R 3

Portanto:

E 4 π r 2 = π ρ 0 R 3 ϵ 0

E = ρ 0 R 3 4 ϵ 0 r 2

Pra acabar:

E → = ρ 0 R 3 4 ϵ 0 r 2 r ^

Resposta

a )

Q r = π ρ 0 r 4 R

Q R = π ρ 0 R 3

b )

E → = ρ 0 r 2 4 R ϵ 0 r ^

c )

E → = ρ 0 R 3 4 ϵ 0 r 2 r ^

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