Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

UNICAMP – Física 3 – 2020.1 – Exame – Discursiva

Q 1 - Uma distribuição esférica de carga de raio R possui densidade dada por ρ ( r ) = ρ 0 ( 1 - r / R ) em que ρ 0 é uma constante positiva dada por ρ 0 = 3 Q / ( π R 3 ) .

a ) Calcule o campo elétrico [ E → ( r ) ] produzido em um ponto arbitrário dentro ( r ≤ R ) e em um ponto arbitrário fora ( r ≥ R ) da distribuição. Deixe o resultado em termos de Q .

b ) Qual é o valor de r para o qual o campo é máximo? Qual é o valor do campo máximo?

c ) Faça um gráfico de E ( r ) vs r para todo r .

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa questão juntos!

Essencialmente precisamos achar o campo dentre da distribuição de cargas e o campo fora da distribuição de cargas. Para isso vamos usar a lei de Gauss ao nosso favor, dada por:

∮ S E → ⋅ d A → = q i n t ϵ 0

Onde S é a superfície Gaussiana que vamos utilizar para envolver a região que vamos analisar e q i n t é a carga envolvida por essa superfície.

Tendo esses campos poderemos encontrar o campo máximo e desenhar o gráfico do campo vs r .

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Passo 2

Vamos considerar uma esfera gaussiana com raio r < R , vamos aplicar a lei de Gauss para essa superfície, temos:

∮ E → ⋅ d A → = q i ϵ 0

Onde q i é a carga dentro dessa superfície que traçamos. Mas como descobrir quanto vale essa carga?

Bem, o enunciado nos deu a densidade de cargas, usando que:

ρ = d q d V

⇒ d q d V = ρ 0 1 - r R

⇒ d q = ρ 0 1 - r R d V

Onde d V = 4 π r 2   d r , já que a densidade só varia na direção radial.

Então, vamos integrar dos dois lados onde a integral em d r vai de 0 a r , assim:

∫ d q = ∫ 0 r ρ 0 1 - r R 4 π r 2   d r

⇒ q i n t = 4 π ρ 0 ∫ 0 r r 2 - r 3 R d r

⇒ q i n t = 4 π ρ 0 r 3 3 - r 4 4 R

Passo 3

Voltando a lei de Gauss temos:

∫ E d A = 4 π ρ 0 ϵ 0 r 3 3 - r 4 4 R

Agora olhando a integral do lado esquerdo, podemos colocar E para fora dela já que não tem motivo para esse campo não ser homogêneo ao longo da superfície, já que ele é radial. Então:

E ∫ d A = 4 π ρ 0 ϵ 0 r 3 3 - r 4 4 R

A integral de d A nos fornece a área da superfície gaussiana que consideremos, assim:

E 4 π r 2 = 4 π ρ 0 ϵ 0 r 3 3 - r 4 4 R

⇒ E = ρ 0 ϵ 0 r 3 - r 2 4 R

Passo 4

Agora vamos achar o campo fora da distribuição de carga. Vamos de novo considerar uma superfície Gaussiana com um raio r > R , vamos aplicar a lei de Gauss para essa superfície, temos:

∮ E → ⋅ d A → = q i ϵ 0

Onde q i dessa vez é a carga total que temos na distribuição de cargas. Para achar essa carga total, vamos fazer a mesma coisa que fizemos para achar a carga interna a superfície de raio r < R , só que agora o limite de integração vai de 0 a R , assim temos:

∫ d q = ∫ 0 R ρ 0 1 - r R 4 π r 2   d r

⇒ q i = 4 π ρ 0 ∫ 0 R r 2 - r 3 R d r

⇒ q i = 4 π ρ 0 R 3 3 - R 4 4 R

⇒ q i = 4 π ρ 0 R 3 12

Assim temos:

q i = π ρ 0 R 3 3

Passo 5

Voltando a lei de Gauss temos:

∫ E d A = π ρ 0 R 3 3 ϵ 0

Agora olhando a integral do lado esquerdo, podemos colocar E para fora dela já que não tem motivo para esse campo não ser homogêneo ao longo da superfície, já que ele é radial. Então:

E ∫ d A = π ρ 0 R 3 3 ϵ 0

A integral de d A nos fornece a área da superfície gaussiana que consideremos, assim:

E 4 π r 2 = π ρ 0 R 3 3 ϵ 0

⇒ E = ρ 0 R 3 12 ϵ 0 1 r 2

Passo 6

Agora vamos encontrar o valor de r que faz o campo ser máximo e também o valor desse campo máximo.

Sabemos o seguinte sobre o campo E .

Para r < R :

E = ρ 0 ϵ 0 r 3 - r 2 4 R

Para r > R , temos:

E = ρ 0 R 3 12 ϵ 0 1 r 2

Vemos que o campo máximo vai ocorrer dentro da distribuição de cargas ele cresce com a distância r e depois começa a cair já que é uma função quadrada.

Assim o campo máximo vai ocorrer quando:

d E d r = 0

Assim:

ρ 0 ϵ 0 1 3 - ρ 0 ϵ 0 R r 2 = 0

⇒ 1 3 - r 2 R = 0

⇒ r = 2 3 R

Essa é a posição onde temos o campo máximo, e seu valor é dado por:

E m á x = 3 ρ 0 R 1 6 ϵ 0

Passo 7

O gráfico do campo elétrico fica da seguinte forma:

Resposta

( a )

Para r < R :

E = ρ 0 ϵ 0 r 3 - r 2 4 R

Para r > R , temos:

E = ρ 0 R 3 12 ϵ 0 1 r 2

( b )

r = 2 3 R

E m á x = 3 ρ 0 R 16 ϵ 0

( c )

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