Enunciado

Uma esfera maciça de raio R , feita de material condutor, está carregada com uma carga Q . Se E ( r ) representa o módulo do campo elétrico gerado pela esfera carregada, onde r é a distância ao centro da esfera, o gráfico que reproduz a função E ( r ) CORRETAMENTE é:

Passo 1

Primeiramente, vamos entender nosso problema.

O exercício pede para determinarmos o gráfico do módulo do campo elétrico gerado por uma esfera maciça condutora com carga Q em função da distância até o centro da esfera.

Para sabermos o gráfico, precisamos saber como é a expressão para o campo elétrico em questão, tanto dentro, quanto fora da esfera.

Assim, imediatamente, temos que o campo elétrico DENTRO da esfera é zero!

UÉÉÉ!!!! COMO ASSIM?!!?!?!

Calma, vou explicar. O enunciado diz que a esfera é feita de um material condutor. Assim, o campo elétrico é SEMPRE NULO dentro de condutores. Você nem precisa se preocupar! :D

Daí, só falta o campo elétrico fora da esfera. Para determinar o campo elétrico fora da esfera, podemos utilizar a lei de Gauss na forma integral.

Esta lei diz que o fluxo ϕ de um campo elétrico   E → por uma superfície fechada genérica S é dada por

ϕ =   ∯ S E → ⋅ n ^   d A = q i n t ϵ 0 ,       s e   h o u v e r   c a r g a s   d e n t r o   d e   S               0 ,         s e   n ã o   h o u v e r   c a r g a s   d e n t r o   d e   S

Na equação anterior, q i n t é a carga elétrica líquida dentro da superfície S e   n ^ um vetor unitário normal ao elemento infinitesimal de área d A . Esta superfície recebe o nome de superfície gaussiana.

A grande sacada de utilizar a lei de Gauss é que se tomarmos uma superfície gaussiana na qual o campo elétrico sobre ela possui módulo constante em todos os seus pontos, podemos retirar o módulo do campo elétrico da integral dupla anterior e isolá-lo.

A forma de escolher a superfície gaussiana se baseia na simetria do campo elétrico. Para o nosso caso, o campo elétrico é radial (só depende da distância até o centro da esfera). Assim, a superfície gaussiana perfeita para o uso são cascas esféricas.Agora que traçamos nossa estratégia, vamos aos cálculos!

Passo 2

Para calcular o campo elétrico fora da esfera, considere a seguinte superfície gaussiana.

Na figura anterior, a esfera maciça condutora está totalmente dentro da superfície gaussiana de raio r , com r > R . O campo elétrico é radial e constante sobre a superfície gaussiana.

Assim, pela lei de Gauss, temos que

∯ S E → ⋅ n ^   d A = q i n t ϵ 0

∯ S E r × 1 × cos ⁡ 0 ° d A = q i n t ϵ 0

E r × ∯ S d A = q i n t ϵ 0

E r × A S = q i n t ϵ 0

com A S a área total da superfície gaussiana dada por

A S = 4 π r 2

A carga interna é toda carga da esfera, pois a esfera toda está dentro da superfície gaussiana. Assim,

q i n t = Q

Logo,

E r × A S = q i n t ϵ 0                     ↔                     E r × 4 π r 2 = Q ϵ 0

E r = 1 4 π ϵ 0 × Q r 2 = k Q r 2

com k a constante eletrostática (ou de Coulomb) dada por

k = 1 4 π ϵ 0

Portanto, o campo elétrico fora da esfera é proporcional a r - 2 .

Assim, no próximo passo, faremos o gráfico do campo elétrico dentro e fora da esfera.

Passo 3

Mostramos nos passos anteriores que o módulo do campo elétrico da esfera maciça é

E r =             0 ,                               s e         0 ≤ r < R k Q r 2 ,                       s e                               r > R

Assim, temos as seguintes informações:

  1. O módulo do campo elétrico DENTRO da esfera é nulo pois a esfera é feita de material condutor;
  2. Fora da esfera, o módulo do campo elétrico diminui com o inverso do quadrado da distância r . Para distâncias muito grandes, o módulo do campo tende a zero.

Portanto, o gráfico do módulo do campo elétrico é

Analisando as opções, vemos que a alternativa correta é a letra ( b ) .

Resposta

L e t r a   ( b )

Exercícios Relacionados

Exercícios de Livros Relacionados