Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

A figura 2 ilustra uma casca esférica não-condutora de raio interno a e raio externo b que possui uma densidade volumétrica de carga positiva constante ρ . Uma carga elétrica pontual positiva q 0 está situada no centro da casca.

Na figura 2, r representa a distância ao centro da casca esférica.

Para este arranjo eletrostático, calcule:

a A carga total Q do sistema.

b O vetor campo elétrico em todas as regiões do espaço: i 0 < r < a ; i i a < r < b ; i i i r > b .

Passo 1

a A carga total Q do sistema.

A carga total do sistema será igual à soma da carga pontual com a carga da casca esférica, logo:

Q = q 0 + q e s f

Onde a carga da casca esférica é dada por:

q e s f = ∫ a b ρ d V

Como a densidade volumétrica de carga é constante, podemos tirá-la da integral, logo:

q e s f = ρ ∫ a b d V

Onde a integral abaixo representa o volume da casca esférica, logo:

q e s f = 4 π ρ 3 b 3 - a 3

Portanto, a carga total do sistema será:

Q = q 0 + 4 π ρ 3 b 3 - a 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b O vetor campo elétrico em todas as regiões do espaço: i 0 < r < a ; i i a < r < b ; i i i r > b .

O campo elétrico pode ser calculado através da lei de Gauss, dada por:

∮ E → ∙ d A → = q i n t ϵ 0

Utilizando a simetria esférica do problema, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

E × 4 π r 2 = q i n t ϵ 0

E = q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Agora, para cada caso, basta calcular a carga no interior da nossa gaussiana.

Passo 3

i 0 < r < a ;

Nessa região, a gaussiana engloba somente a carga pontual, logo:

q i n t = q 0

E = q 0 4 π ϵ 0 r 2

i i a < r < b ;

Aqui a gaussiana engloba a carga pontual e uma parte da casca esférica.

q i n t = q 0 + q e s f '

Seguindo o mesmo raciocínio que usamos na letra a para calcular a carga total da casca esférica, teremos:

q e s f ' = 4 π ρ 3 r 3 - a 3

Logo:

q i n t = q 0 + 4 π ρ 3 r 3 - a 3

E = q 0 + 4 π ρ 3 r 3 - a 3 4 π ϵ 0 r 2

Reorganizando isso, teremos:

E = q 0 4 π ϵ 0 r 2 + ρ 3 ϵ 0 r 3 - a 3 r 2

i i i r > b ;

A gaussiana agora engloba todo o sistema. Dessa forma:

q i n t = q 0 + 4 π ρ 3 b 3 - a 3

E = q 0 + 4 π ρ 3 b 3 - a 3 4 π ϵ 0 r 2

E = q 0 4 π ϵ 0 r 2 + ρ 3 ϵ 0 b 3 - a 3 r 2

Resposta

a

Q = q 0 + 4 π ρ 3 b 3 - a 3

b

i   E = q 0 4 π ϵ 0 r 2

i i   E = q 0 4 π ϵ 0 r 2 + ρ 3 ϵ 0 r 3 - a 3 r 2

i i i   E = q 0 4 π ϵ 0 r 2 + ρ 3 ϵ 0 b 3 - a 3 r 2

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