A figura mostra a visão de perfil de três placas não condutoras de grande extensão densidades superficiais uniforme de cargas com valores σ 1 = + σ , σ 2 = + 2 σ e σ 3 = - 4 σ ( σ > 0 ). Usando o princípio da superposição, determine

  1. O vetor campo elétrico nas regiões A, B, C e D;
  2. A diferença de potencial entre as placas com densidades σ 1 e σ 3 ;
  3. O trabalho do campo elétrico quando um elétron é deslocado entre as placas com densidade σ 2   e σ 3 .

Passo 1

Como temos três placas “de grande extensão”, o campo que elas produzem é perpendicular às respectivas superfícies e constante em todo o espaço. Se as cargas das placas forem positivas, as linhas de campo estarão no sentido de se afastarem das placas, e se forem negativas, no sentido de se aproximarem das placas.

Para facilitar a nova análise, dá uma olhada na figura abaixo, em que representamos as placas separadamente e seus respectivos campos elétricos, considerando a orientação do eixo X Y dado.

Vamos somar vetorialmente os campos elétricos produzidos pelas placas em cada uma das regiões. Antes, o módulo campo elétrico | E → | produzido por uma placa de “grande extensão” (ou “infinita”) e com densidade superficial σ 1 de carga é:

E → = σ 1 2 ϵ 0   .

Vamos aplicar essa expressão, junto com as respectivas direções e sentidos dos campos, para obter o campo resultante em cada região da figura.

Passo 2

a) Na região A (RA), temos, olhando para a figura acima, que o campo resultante será:

E → R A = σ 2 ϵ 0   y ^ + 2 σ 2 ϵ 0   y ^ + 4 σ 2 ϵ 0   - y ^ ⇒ E → R A = σ 2 ϵ 0   - y ^   .

Na região B (RB):

E → R B = σ 2 ϵ 0   y ^ + 2 σ 2 ϵ 0   y ^ + 4 σ 2 ϵ 0   + y ^ ⇒ E → R B = 7 σ 2 ϵ 0   + y ^   .

Na região C (RC):

E → R C = σ 2 ϵ 0   y ^ + 2 σ 2 ϵ 0   ( - y ^ ) + 4 σ 2 ϵ 0   + y ^ ⇒ E → R C = 3 σ 2 ϵ 0   + y ^   .

Na região D (RD):

E → R D = σ 2 ϵ 0   ( - y ^ ) + 2 σ 2 ϵ 0   ( - y ^ ) + 4 σ 2 ϵ 0   + y ^ ⇒ E → R D = σ 2 ϵ 0   + y ^   .

Repara que a única coisa que fizemos foi somar os vetores nas regiões considerando os campo dados na figura acima para cada uma das placas condutoras.

Passo 3

b) Agora, para começar este item, precisamos olhar para o campo resultante nas regiões B e C e somá-los. Nesse caso, o campo resultante será:

E → R = E → R B + E → R C = 7 σ 2 ϵ 0 + 3 σ 2 ϵ 0   y ^   ⇒ E → R = 5 σ ϵ 0   y ^     .

Como só temos campo elétrico na direção y , o campo elétrico está relacionado com o potencial através da seguinte relação:

E → R = 5 σ ϵ 0   y ^ = - d V d y   y ^   ⇒ V y = - 5 σ y ϵ 0   .

Portanto, se V y = 3 L ≡ V 3 e V y = 0 ≡ V 1 = 0 , então a diferença de potencial entre as placas σ 1 e σ 3 será:

V 3 - V 1 = - 5 σ ϵ 0   3 L = - 15 σ L ϵ 0   .

Passo 4

c) Na região B, temos um campo elétrico resultante dado por:

E → R B = 7 σ 2 ϵ 0   + y ^   .

Agora, vamos considerar a figura abaixo, na qual representamos as placas σ 2 e σ 3 e o campo   E → R B entre elas. Além disso, o elétron parte de uma posição inicial y i e vai até uma posição final y f no sentido contrário ao campo elétrico  E → R B .

O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre o elétron é:

W = ∫ F → ⋅ d l → = - e ∫ y i y f E → R B ⋅ d y →   = - e ∫ y i y f | E → R B | d y .  

Como o campo elétrico   E → R B nessa região é uniforme, então teremos que:

W = - e E → R B y f - y i ⇒ W = 7 e σ y i - y f 2 ϵ 0   .

Portanto, esse é o trabalho realizado pelo campo para levar o elétron de um ponto arbitrário y i até um outro ponto y f dentro da região entre as placas σ 2 e σ 3 .

Resposta

  1. E → R A = σ 2 ϵ 0   - y ^   ;   E → R B = 7 σ 2 ϵ 0   + y ^   ;   E → R C = 3 σ 2 ϵ 0   + y ^   ;   E → R D = σ 2 ϵ 0   + y ^  
  2. V 3 - V 1 = - 5 σ ϵ 0   3 L = - 15 σ L ϵ 0   ;
  3. W = 7 e σ y i - y f 2 ϵ 0   .

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