Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Lei de Gauss

Uma placa isolante, com espessura 2 a e densidade volumétrica de carga uniforme igual a ρ > 0 , está separada de uma outra placa, condutora, com carga total igual a zero e de espessura a . As duas placas são infinitas nas direções y e z , conforme a figura.

a ) Use a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico produzido pela placa isolante em um ponto dentro da placa, isto é um ponto com coordenada x < a .

b ) Use a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico produzido pela placa isolante em um ponto fora dela.

c ) Calcule, em termos de ρ e a , a densidade superficial de cargas induzidas nas superfícies da placa condutora após o equilíbrio eletrostático ter sido atingido. Determine em todo o espaço o campo elétrico resultante devido ao isolante e ao condutor.

Passo 1

a ) Use a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico produzido pela placa isolante em um ponto dentro da placa, isto é um ponto com coordenada x < a .

Devido à simetria do problema, é possível ver que o campo elétrico gerado pela placa estará sempre na direção do eixo x .

Assim, as nossas gaussianas serão todas paralelepípedos, onde o campo elétrico no interior das placas, onde há fluxo elétrico apenas pelas faces paralelas às superfícies da placa.

A Lei de Gauss é dada por:

∫ S E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Como o campo elétrico é uniforme sobre as superfície em que cruza a gaussiana e ele cruza a gaussiana através de duas faces, podemos simplificar a Lei de Gauss para:

E 2 A = Q i n t ϵ 0

E x = Q i n t 2 A ϵ 0

Agora o nosso trabalho é apenas calcular a carga interna Q i n t . Pra isso, vamos usar a densidade volumétrica de carga, dada pelo problema:

ρ = Q i n t 2 x A → Q i n t = 2 x A ρ

Portanto:

E x = 2 x A ρ 2 A ϵ 0 = ρ x ϵ 0

E → x = ρ x ϵ 0 i →

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Use a lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico produzido pela placa isolante em um ponto fora dela.

A geometria do problema permanece a mesma, a diferença agora é que a carga interna agora será a carga total da placa.

Q i n t = 2 a A ρ

Agora o campo elétrico é dado por:

E x = 2 a A ρ 2 A ϵ 0 = ρ a ϵ 0

E → x = ρ a ϵ 0 i →     p a r a   r > a E → x = - ρ a ϵ 0 i →     p a r a   r < - a

Passo 3

c ) Calcule, em termos de ρ e a , a densidade superficial de cargas induzidas nas superfícies da placa condutora após o equilíbrio eletrostático ter sido atingido. Determine em todo o espaço o campo elétrico resultante devido ao isolante e ao condutor.

O campo elétrico gerado pela placa isolante vai induzir uma polarização na placa isolante.

As cargas positivas tendem a se mover no mesmo sentido do campo que age sobre elas e as cargas negativas tendem a se mover no sentido oposto. Como o campo elétrico está “saindo” da placa isolante, ou seja, E → = E i → , as concentrações de cargas positivas e negativas terão essa cara:

Assim, a densidade de carga induzida vai gerar um campo elétrico induzido que, por conta da polarização, terá o seguinte sentido:

Como o campo elétrico é nulo no interior de qualquer condutor, no interior desse condutor:

E → + E → i = 0

O campo elétrico induzido E i é a soma dos campos elétricos gerados pelas superfícies positiva e negativa do condutor:

E → + E → + + E → - = 0

Onde:

E → = ρ a ϵ 0 i →

E → + = E → - = - σ 2 ϵ 0 i →

Portanto:

ρ a ϵ 0 i → - σ 2 ϵ 0 i → - σ 2 ϵ 0 i → = 0

ρ a ϵ 0 - σ ϵ 0 = 0

σ = ρ a

Por fim:

σ + = ρ a

σ - = ρ a

Resposta

a )

E → x = ρ x ϵ 0 i →

b )

E → x = ρ a ϵ 0 i →     p a r a   r > a E → x = - ρ a ϵ 0 i →     p a r a   r < - a

c )

σ + = ρ a

σ - = ρ a

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas