Exercícios Resolvidos de Colisões Inelásticas

UFRJ – 2ª Prova – 2013.1

Dois objetos de mesma massa m e dimensões desprezíveis colidem no espaço sideral, na ausência de forças externas. A figura mostra um sistema de eixos O X Y de um referencial inercial, com seus unitários i ^ e j ^ . Antes da colisão os objetos se movem ao longo do eixo O X com velocidades de sentidos opostos, como indicados na figura, e módulos v 1 = 3 v e v 2 = 2 v , nos quais v é uma constante dada. Após a colisão, um os objetos adquire velocidade v → 1 = - v i ^ + v j ^ (na figura de baixo apenas um dos objetos é mostrado).

a   Determine a velocidade v → 2 ' do outro objeto após a colisão, expressando sua resposta em termos da constante v e dos unitários i ^ e j ^ .

b   Determine a razão K ' / K entre a energia cinética K ' do par de objetos depois da colisão e sua energia cinética K antes da colisão; esta colisão é elástica ou inelástica?

Passo 1

a   Como não temos ação de forças externas o momento linear se conserva.

Vamos calcular o momento liner antes da colisão

p → a n t e s = p → 1 + p → 2

Onde

p → 1 = m 1 ⋅ v → 1 = m ⋅ - 3 v i ^ = - 3 v m i ^

E

p → 2 = m 2 ⋅ v → 2 = m ⋅ 2 v i ^ = 2 v m i ^

Resultando em

p → a n t e s = - 3 v m i ^ + 2 v m i ^ = - v m i ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular o momento linear depois da colisão

p → d e p o i s = p → 1 ' + p → 2 '

Onde

p → 1 ' = m 1 ⋅ v → 1 ' = m ⋅ - v i ^ + v j ^ = - m v i ^ + m v j ^

E

p → 2 ' = m 2 ⋅ v → 2 ' = m v → 2 '

Resultando em

p → d e p o i s = - m v i ^ + m v j ^ + m v → 2 '

Passo 3

Como os momentos lineares se conservam

p → a n t e s = p → d e p o i s

- v m i ^ = - m v i ^ + m v j ^ + m v → 2 '

m v → 2 ' = - m v j ^

v → 2 ' = - v j ^

Passo 4

b   Vamos ter nas energias cinéticas as seguintes contas, começando pela energia cinética antes da colisão

K = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2

K = m - 3 v 2 2 + m 2 v 2 2

K = 9 m v 2 2 + 4 m v 2 2

K = 13 m v 2 2

Passo 5

Agora para a energia cinética após a colisão

K ' = m 1 v 1 ' 2 2 + m 2 v 2 ' 2 2

Repara que vamos usar o módulo da velocidade na energia cinética, sabemos que

v 2 ' = - v

Vamos achar agora v 1 '

v 1 ' 2 = - v 2 + v 2

v 1 ' 2 = 2 v 2

Não precisamos fazer a raiz já que na fórmula está ao quadrado

K ' = m ⋅ 2 v 2 2 + m - v 2 2

K ' = 2 m v 2 2 + m v 2 2

K ' = 3 m v 2 2

Passo 6

Vamos ter a seguinte razão para K ' / K

K ' K = 3 m v 2 / 2 13 m v 2 / 2 = 3 13

Como a energia cinética não é igual ele é uma colisão inelástica, no caso parcialmente elástica.

Resposta

a)   v → 2 ' = - v j ^

b)   K ' K = 3 m v 2 / 2 13 m v 2 / 2 = 3 13 ;

c) colisão inelástica, no caso parcialmente elástica.

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