A figura mostra um circuito ABCDE de atrito desprezível, com um trecho horizontal BC, um arco de círculo CE de raio R e o ponto A a uma altura h do trecho horizontal. Um bloco de massa m é abandonado em repouso no ponto A e um bloco idêntico está em repouso sobre o circuito entre B e C. O bloco abandonado em A sofre uma colisão perfeitamente inelástica, com os blocos permanecendo unidos após a colisão. Calcule:

  1. a velocidade do bloco abandonado em A imediatamente antes de colidir com o outro bloco;
  2. a velocidade do conjunto imediatamente depois da colisão;
  3. a velocidade do conjunto no ponto D, onde a direção da normal faz um ângulo θ = 60◦ com a vertical (Supondo que a altura h seja suficiente para que os blocos passem por esse ponto com velocidade não nula);
  4. o valor da força normal que age sobre os dois blocos grudados, no ponto D.

Passo 1

Primeiramente, vamos entender melhor o problema.

Podemos ver que as forças que atuam sobre o bloco no trecho AB são apenas o peso e a normal.

Como a Normal é sempre perpendicular à trajetória, o trabalho devido a ela neste trajeto é nulo. Além disso, o peso é uma força conservativa.

Então, podemos aplicar a lei de conservação da energia mecânica entre os pontos A e B.

E A = E B

K A + U A = K B + U B

Vamos analisar cada uma dessas energias:

K A = 0 . O bloco é solto do repouso

U A = m g h

K B = m v B 2 2

U B = 0

Chegamos, então, a

m g h = m v B 2 2

Manipulando essa equação:

v B = 2 g h

Passo 2

Como a soma das forças externas é nula, podemos aplicar a lei da conservação do momento linear para os instantes antes e depois da colisão.

p i → = p f →

Vamos analisar cada momento linear separadamente:

P i → será dado só pelo bloco que estava em movimento, já que o bloco em repouso tem sem momento linear nulo.

Assim, como achamos a velocidade do primeiro bloco imediatamente antes de colidir no passo anterior, chegamos a:

P i → = m 2 g h   î

Para calcular o P f → , vamos utilizar o fato de que se trata de uma colisão completamente inelástica, ou seja, os dois blocos saem juntos após a colisão.

Dessa forma, podemos analisar o momento linear do sistema de massa 2m com velocidade única ( v f → ) , formado pelos dois blocos.

Assim,

p f → = 2 m v f →

Igualando os dois resultados,

P i → = P f →

m 2 g h   î = 2 m v → f

v f → = g h 2   î

Passo 3

Agora precisamos encontrar v D .

Vamos aplicar novamente a lei de conservação da energia mecânica no trecho CD.

E C = E D

K C + U C = K D + U D

Vamos analisar separadamente cada uma dessas energias:

K C = 2 m v c 2 2 , sendo a velocidade do conjunto em c igual ao v f calculado no passo 2

U C = 0

K D = 2 m v D 2 2

U D = 2 m g h D

Precisamos descobrir qual o valor de h D . Para isso vamos montar a seguinte figura:

h D = R - R s e n 30 °

h D = R 2

Show! Agora é só igualar tudo.

E C = E D

2 m v c 2 2 = 2 m v D 2 2 + 2 m g h D

1 2 2 m g h 2 2 = m v D 2 + m g R

Dando uma arrumadinha nisso aí, chegamos no módulo de v D :

V D = g h - 2 R 2

Passo 4

Vamos entender quais as forças que atuam no ponto D.

Como o bloco faz um movimento circular, ele tem uma força centrípeta. Conforme vemos na figura, essa força centrípeta vai ser dada por F c p = N - P c o s θ . No nosso caso, θ = 60 °

Nós já sabemos que a F c p é dada por m v 2 R . Assim, podemos aplicar para nosso conjunto de 2m v D no ponto D.

Substituindo na primeira equação, chegamos a:

2 m v D 2 R = N D - 2 m g c o s 60 °

N D = 2 m v D 2 R + m g

N D = m g + 2 m R g h - 2 R 2 2

N D = m g ( h R - 1 )

Resposta

  1. v B = 2 g h
  2. v f → = g h 2   î
  3. V D = g h - 2 R 2
  4. N D = m g ( h R - 1 )

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