Um rojão, lançado segundo um ângulo de 45   ° , explode em dois fragmentos ao atingir sua altura máxima, de 25 m; os fragmentos são lançados horizontalmente. Um deles, de massa igual a 100   g , cai no mesmo plano vertical da trajetória inicial, a 90   m de distância do ponto de lançamento. O outro fragmento tem massa igual a 50   g .

(b) Quais são as velocidades comunicadas aos dois fragmentos em consequência da explosão?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar as velocidades comunicadas aos dois fragmentos em consequência da explosão, que é a velocidade relativa deles em relação ao centro de massa do sistema.

No item (a), nós calculamos o tempo de queda dos dois fragmentos, que é o tempo de queda do centro de massa:

t = v 0 sin ⁡ θ g

Esse tempo também é igual ao tempo de subida. Então, com ele nós conseguimos determinar as velocidades horizontais de cada massa após a explosão, fazendo:

v = Δ s t

Onde Δ s = s 2 - s 1 é a variação da distância horizontal percorrida por cada massa. Como lá na altura máxima, o rojão já tinha percorrido metade do alcance total, a posição inicial dos fragmentos será s 1 = 50   m . A partir disso, a gente consegue subtrair a velocidade inicial v 0 x das velocidades v 1 e v 2 obtidas através dessa fórmula, e assim encontrar a velocidade comunicada aos fragmentos.

Vamos lá!

Passo 2

Usando a expressão do tempo de queda t q , igual ao tempo de subida t s :

t q = t s = v 0 sin ⁡ θ g

Com v 0 = 980   m / s (obtida no item (a)), θ = 45 ° e g = 9,8   m / s 2 , vamos ter:

t = 980 sin ⁡ 45 ° 9,8 = 2,26   s

Como a velocidade é definida pela variação da distância em um intervalo de tempo, temos:

v = Δ s t

Partindo de s 1 = 50   m , o primeiro fragmento percorre uma distância horizontal s 2 = 90   m . Então, usando t = 2,26   s , vamos ter sua velocidade horizontal:

v 1 = 90 - 50 2,26 = 17,7   m / s

O segundo fragmento também parte de s 1 = 50   m , mas percorre s 2 = 120   m (que nós encontramos no item (a)). Sendo assim, teremos:

v 2 = 120 - 50 2,26 = 31   m / s

Passo 3

Mas nós queremos determinar as velocidades dos fragmentos em relação ao seu centro de massa, que tem uma velocidade horizontal v 0 x = v 0 cos ⁡ θ (onde v 0 = 980   m / s e θ = 45 ° ). Então, nossas velocidades relativas serão:

v c 1 = 17,7 - v 0 cos ⁡ θ

v c 1 = 17,7 - 980 ∙ 2 2

v c 1 = - 4,43   m / s

Da mesma forma, para o fragmento 2 , teremos:

v c 2 = 31 - 980 ∙ 2 2

v c 2 = 8,86   m / s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

v c 1 = - 4,43   m / s

v c 2 = 8,86   m / s

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