A figura mostra o resultado de uma colisão entre dois corpos de massas desiguais. Determine:

a O ângulo θ 2

b A rapidez v 2 da maior massa após a colisão.

c Classifique a colisão quanto à variação de energia cinética, justificando sua resposta.

Passo 1

a

Antes de determinar o ângulo θ 2 , vamos calcular o valor do seno e do cosseno de θ 1 , temos que:

tan ⁡ θ 1 = 2

sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 = 2 → sen ⁡ θ 1 = 2 . cos ⁡ θ 1

elevando ao quadrado e substituindo cos 2 ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ , temos:

sen 2 ⁡ θ 1 = 2 . ( 1 - sen 2 ⁡ θ 1 )

sen ⁡ θ 1 = 2 5  

Logo, temos que:

cos ⁡ θ 1 = 1 5

Agora sim podemos determinar θ 2 , para isso vamos usar a conservação de momento linear, uma vez que não atuam forças externas ao sistema:

p → 0 = p → f

Em x , temos:

m . 3 v 0 = m . 5 v 0 . cos ⁡ θ 1 + 2 m . v 2 . cos ⁡ θ 2

Cortando m e substituindo o valor do cosseno de θ 1 , temos:

3 . v 0 = v o . 5 . 1 5 + 2 . v 2 . cos ⁡ θ 2

v 0 = v 2 . cos ⁡ θ 2             ( 1 )

Em y , temos:

0 = m . 5 . v 0 . sen ⁡ θ 1 - 2 m . v 2 . sen ⁡ θ 2

v 0 = v 2 . sen ⁡ θ 2         ( 2 )

Dividindo ( 2 ) por ( 1 ) , temos:

v 0 v 0 = v 2 . sen ⁡ θ 2 v 2 . cos ⁡ θ 2

1 = tan ⁡ θ 2

θ 2 = 45 °

Passo 2

b   Agora que sabemos o valor de θ 2 , basta substituir em uma das equações achadas, se liga:

v 0 = v 2 . sen ⁡ θ 2  

v 0 = v 2 . 2 2

v 2 = 2 . v 0 2 = 2 v 0

Passo 3

c   Para determinar o tipo de colisão, vamos analisar a variação da energia cinética:

Para a energia cinética inicial, temos:

K 0 = 1 2 . m . 3 v 0 2 = 4,5 . m . v 0 2

Para a energia cinética final, temos:

K f = 1 2 . m . 5 v 0 2 + 1 2 . 2 m . 2 v 0 2

K f = 2,5 . m . v 0 2 + 2 . m . v 0 2 = 4,5 . m . v 0 2

Ou seja:

K i = K f

Por conta de a energia cinética se conservar, temos que a colisão é dita perfeitamente elástica.

Resposta

a θ 2 = 45 °

b v 2 = 2 v 0

c K i = K f

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