Exercícios Resolvidos de Colisões Inelásticas

Colisões, Trabalho e Energia Cinética

Se todas as três colisões na figura abaixo são perfeitamente inelásticas, qual ou quais geram a maior força de deformação nos carros?

a) I.

b) II.

c) III.

d) I e II.

e) I e III.

f) II e III.

g ) todas as três.

Passo 1

Já que não se fala nada sobre atrito, podemos assumir que o único trabalho que é realizado sobre o carro é na hora da colisão, o trabalho da deformação W d e f .

E pelo teorema trabalho-energia cinética:

W t o t = Δ K

Ou seja:

W d e f = Δ K

A colisão que vai causar maior deformação nos carros é a do sistema onde, em módulo, a variação de energia cinética é maior! Tipo, se 2 carros, um andando devagar e um rápido, baterem num muro e pararem, o que estava mais rápido (com mais energia cinética) é o que vai ficar mais deformado, né? A ideia é essa!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sendo v 0 a velocidade inicial do carro e v f sua velocidade final, a diferença de energia cinética nada mais é que:

Δ K = m a s s a 2 v f 2 - v 0 2

E os v 0 de cada carro nós já temos pela imagem, então nos resta achar os v f , e é aí que entra o estudo das colisões.

Passo 3

Numa colisão perfeitamente inelástica, os corpos saem colados, com a mesma velocidade final v f . Levando isso em conta, vamos aplicar a conservação do momento linear total nas 3 colisões! Assim a gente vai achar os v f , beleza?

Passo 4

Colisão I:

A parede a gente tem que entender como algo gigantesco, de massa muito maior que a do carro, e que não vai se mexer depois da colisão! Então na verdade, o carro vai bater e parar.

Mas vamos dar uma olhada nas equações do movimento mesmo assim!

A parede está parada então o momento linear total logo antes da colisão é igual ao momento linear do carro:

p i = m v

Passo 5

Vamos chamar a massa da parede de M , lembrando que consideramos M ≫ m .

E logo depois da colisão, os corpos se colam e saem com uma velocidade final v f , então:

p f = m + M v f

Passo 6

Pela conservação do momento linear total:

p i = p f

⇒ m v = m + M v f

⇒ v f = m v m + M

Mas

M ≫ m ⇒ m + M ≫ m v ⇒ m v m + M ≈ 0

Então dá pra considerar v f = 0 . Ou seja, é que nem a gente pensou no começo, o carro vai bater e parar!

Passo 7

Colisão II:

O momento linear total inicial é:

p i = m v - 2 m ⋅ 0,5 v = m v - m v = 0

Faz sentido dar zero, porque o carro da direito tem o dobro da massa do carro da esquerda, mas metade da velocidade!

Passo 8

Como a colisão é perfeitamente inelástica, os carros saem com a mesma velocidade final v f e o momento linear total final é:

p f = m + 2 m v f

⇒ p f = 3 m v f

Passo 9

De novo usando a conservação do momento linear:

p f = p i

⇒ 3 m v f = 0

Como m ≠ 0 , isso dá:

v f = 0

Então os carros batem e param!

Passo 10

Colisão III:

Temos quase a mesma coisa que a colisão anterior: agora o carro da direita tem metade da massa e o dobro da velocidade, em relação ao carro da esquerda. Podemos suspeitar que o resultado vai ser o mesmo!

O momento linear total inicial é

p i = m v - 0,5 m ⋅ 2 v = m v - m v = 0

Passo 11

E o momento linear total final é

p f = m + 0,5 m v f

⇒ p f = 1,5 m v f

Passo 12

Novamente vamos ter

p f = p i

⇒ 1,5 m v f = 0

⇒ v f = 0

Ou seja, nos 3 casos os carros batem e param no local da colisão!

Passo 13

Lembrando que no começo vimos:

Δ K = m a s s a 2 v f 2 - v 0 2

E como nas 3 colisões v f = 0 , pra todos os carros envolvidos temos

Δ K = - m a s s a 2 v 0 2

Então vamos calcular a diferença de energia cinética pra todos os carros!

Passo 14

Colisão I:

O carro tem massa m   e velocidade v , então sua variação de energia cinética é

Δ K c a r r o = - m 2 v 2

A parede fica imóvel ao longo de todo o movimento, então sua variação de energia cinética é nula.

Portanto, a variação de energia cinética total do sistema I é:

Δ K I = Δ K c a r r o + 0

⇒ Δ K I = - m 2 v 2

⇒ Δ K I = m 2 v 2

Passo 15

Colisão II:

O carro da esquerda tem massa m   e velocidade v , então sua variação de energia cinética é

Δ K e s q = - m 2 v 2

O carro da direita tem massa 2 m   e velocidade 0,5 v , então variação de energia cinética fica:

Δ K d i r = - 2 m 2 0,5 v 2 = - 0,25 m v 2 = - m 4 v 2

Então a variação de energia cinética total do sistema I I é:

Δ K I I = Δ K e s q + Δ K d i r

⇒ Δ K I I = - m 2 v 2 - m 4 v 2 = - 3 4 m v 2

⇒ Δ K I I = 3 4 m v 2

Passo 16

Colisão III:

Assim como pras outras colisões, o carro da esquerda tem massa m e velocidade v , logo:

Δ K e s q = - m 2 v 2

Já o carro da direita tem massa 0,5 m   e velocidade 2 v , então:

Δ K d i r = - 0,5 m 2 2 v 2 = - m 4 4 v 2 = - m v 2

Portanto, a variação de energia cinética total do sistema I I I é:

Δ K I I I = Δ K e s q + Δ K d i r

⇒   Δ K I I I = - m 2 v 2 - m v 2 = - 3 2 m v 2

⇒ Δ K I I I = 3 2 m v 2

Passo 17

Agora só resta comparar o módulo das variações de energia cinética dos 3 sistemas! O que tiver maior módulo é o sistema onde a energia cinética variou mais, e, portanto, provocou maior deformação nos carros envolvidos:

Δ K I = 1 2 m v 2 Δ K I I = 3 4 m v 2 Δ K I I I = 3 2 m v 2

Podemos ver que

Δ K I < Δ K I I < Δ K I I I

Logo, depois desse trabalho todo podemos concluir que a colisão do sistema I I I é a que gera maior força de deformação nos carros :)

Resposta

Alternativa (c)

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