4 – Responda cada um dos itens:

a) Numa colisão totalmente inelástica entre dois corpos de massa m 1 e m 2 , onde m 2 está em repouso, qual deve ser a relação entre as massas m 1 e m 2 para que a velocidade final seja 1 / 3 da velocidade inicial?

b) Considere uma colisão entre dois corpos ( A e B ) de massas iguais. O corpo B está inicialmente em repouso. Após a colisão, a velocidade de cada um deles será necessariamente menor que a velocidade inicial do corpo A . Ou seja, as constantes definidas como a = v A f / v A i e b = v B f / v A i são necessariamente menores que 1 . Nestas definições os índices i e f (inicial e final) se referem às situações antes e depois da colisão respectivamente. Qual deve ser a relação entre as constantes a e b para que a colisão seja totalmente elástica?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos dois cenários diferentes, em um temos uma colisão totalmente inelástica e em outra temos uma colisão totalmente elástica.

Sabe diferencias essas duas colisões? 🤔🤔

A colisão totalmente elástica é uma colisão ideal e não acontece perda de energia. Nesse caso a energia mecânica do sistema se conserva e também o momento linear se conserva.

Em colisões totalmente inelásticas acontece perda de energia e no momento da colisão de dois objetos, ocorre a junção desses dois objetos e eles passam a se mover como um único objeto, mas aqui o momento linear antes da colisão é igual ao momento linear depois da colisão.

Agora estamos aptos a começar?

Bora lá! 😁

Passo 2

No item a) é o caso em que ocorre uma colisão totalmente inelástica entre dois corpos de massas m 1 e m 2 (que está inicialmente em repouso) e nosso objetivo é calcular a razão entre essas massas para que a velocidade final seja 1 / 3 da velocidade inicial.

No passo anterior vimos que após a colisão, os corpos grudam em se movem juntos com a mesma velocidade e o momento linear se conserva.

Então inicialmente nosso momento linear é dado por

P i = m 1 · v i

Como a massa m 2 está em repouso, ela não possui momento.

Agora depois da colisão o momento linear é dado considerando as massas como uma só, ou seja

P f = m 1 + m 2 · v f

Se P i = P f , então

m 1 · v i = m 1 + m 2 · v f

Foi dito que a velocidade final tem que ser 1 / 3 da velocidade inicial, logo

v f = 1 3 v i

Substituindo na equação...

m 1 · v i = m 1 + m 2 · 1 3 v i

Simplificando a equação cortando v i dos dois lados e multiplicando os dois lados por 3 , temos

3 · m 1 = 3 · m 1 + m 2 · 1 3

3 m 1 = m 1 + m 2

3 m 1 - m 1 = m 2

2 m 1 = m 2

Isolando m 1 / m 2 em um lado da equação...

m 1 = m 2 2

m 1 m 2 = 1 2

Com isso encontramos que a razão entre as massas m 1 e m 2 para que a velocidade final do sistema seja 1 / 3 da velocidade inicial é de 1 / 2 .

Legal, né? 😎

Passo 3

No item b) a colisão é completamente elástica, ou seja, energia mecânica e o momento linear se conservam.

Dois corpos de massas iguais se colidem onde um corpo A tem uma velocidade inicial v a i e um corpo B está em repouso. Após a colisão o corpo A está a uma velocidade v A f e o corpo B a uma velocidade v B f .

Com essas velocidades, podemos definir duas constantes a e b onde

a = v A f v A i ,     b = v B f v A i

Qual é a relação entre essas constantes se a colisão é perfeitamente elástica?

Como as massas são iguais vamos dizer que m A = m B = m

Se a colisão é perfeitamente elástica E i = E f

A energia mecânica inicial é dada somente pela energia cinética do corpo A , ou seja

E i = m v A i 2 2

Já no fim, a energia mecânica será a soma das energias cinéticas de A e B

E f = m v A f 2 2 + m v B f 2 2

Igualando as duas equações, temos

m v A i 2 2 = m v A f 2 2 + m v B f 2 2

Bora manipular essa nova equação para obter a relação entre a e b ! 😉

Passo 4

Colocando m / 2 em evidência nos dois lados, vemos que podemos cortá-los para simplificar nosso problema

m 2 v A i 2 = m 2 v A f 2 + v B f 2

v A i 2 = v A f 2 + v B f 2

Passando v A i 2 dividindo o outro lado, temos

1 = v A f 2 + v B f 2 v A i 2

1 = v A f 2 v A i 2 + v B f 2 v A i 2

- v A f 2 v A i 2 = v B f 2 v A i 2

Vamos simplificar a equação mais uma vez tirando a raiz dos dois lados para eliminar o expoente 2 das variáveis. Mas antes, temos que considerar o modulo dos dois lados pois não seria possível tirar a raiz de - v A f 2 v A i 2 por conta do sinal negativo.

- v A f 2 v A i 2 = v B f 2 v A i 2

v A f 2 v A i 2 = v B f 2 v A i 2

v A f 2 v A i 2 = v B f 2 v A i 2

Como a / b = a / b , então

v A f 2 v A i 2 = v B f 2 v A i 2

Assim podemos cortar a raiz com o expoente 2 já que a 2 = a

v A f v A i = v B f v A i

Mas o que é v A f v A i e v B f v A i ? Não são as constantes a e b ? 🤔🤔

Bacana, não é? Descobrimos que elas são iguais em módulo!

a = b

Então essa é a relação entre a e b que tínhamos que encontrar.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

a) m 1 m 2 = 1 2

b) a = b

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