A figura mostra uma rampa A B C D E com um trecho horizontal B C D E e o ponto A a uma altura h do trecho horizontal. Um bloco de massa m é abandonado em repouso sobre a rampa no ponto A   e um bloco idêntico está em repouso sobre a rampa entre B e C .

A parte C D do trecho horizontal tem comprimento d , e coeficiente de atrito cinético μ com os blocos, já o restante da rampa é totalmente liso.Ao final do trecho horizontal B C D E , entre os pontos D e E , encontra-se uma mola de constante elástica k fixada à rampa em E .O bloco abandonado em A sofre uma colisão perfeitamente inelástica com o outro bloco e o conjunto se move na horizontal até atingir a mola e comprimi-la até parar.

Considere como dados m ,   h ,   μ ,   d ,   k e o módulo g da aceleração da gravidade.

Considerando as dimensões dos blocos desprezíveis, calcule

a) a velocidade do bloco abandonado em A imediatamente antes de colidir com o outro bloco;

b) a velocidade do conjunto imediatamente depois da colisão;

c) a velocidade do conjunto imediatamente antes de colidir com a mola;

d) o máximo comprimento de compressão da mola.

Passo 1

a)

No trajeto feito pelo bloco do momento em que ele é abandonado em A até chegar no ponto B não há atrito, então podemos aplicar a conservação da energia mecânica:

E m A = E m B

Passo 2

Como o bloco parte do repouso, sua energia cinética inicial K A é nula:

K A = 0

A energia potencial gravitacional inicial do bloco é

U g A = m g h

E o bloco não comprime nem estica nenhuma mola, então sua energia potencial elástica é nula:

U e l A = 0

Passo 3

Portanto,

E m A = K A + U g A + U e l A

⇒ E m A = 0 + m g h + 0 = m g h

Passo 4

Vamos chamar a velocidade do bloco no ponto B de v B . Assim, a energia cinética K B do bloco em B é:

K B = 1 2 m v B 2

No ponto B , o bloco está no nível do chão, então sua energia potencial gravitacional é nula:

U g B = 0

E ele continua sem contato com nenhuma mola, logo

U e l B = 0

Passo 5

Então obtemos

E m B = K B + U g B + U e l B

⇒ E m a = 1 2 m v B 2 + 0 + 0 = 1 2 m v B 2

Passo 6

Voltando pra equação de conservação da energia mecânica:

E m A = E m B

⇒ m g h = 1 2 m v B 2

⇒ g h = 1 2 v B 2

⇒ 2 g h = v B 2

⇒ v B = 2 g h ,

que é aquele clássico resultado que a gente vê frequentemente nos exercícios!

Passo 7

Essa é a velocidade do bloco no ponto B , mas como dali até ele colidir com o outro bloco não há atrito (ou outra força não-conservativa) atuando, ele vai manter essa velocidade até a colisão. Portanto, a velocidade que foi pedida é essa mesmo:

v B = 2 g h

Passo 8

b)

Agora vamos tratar da colisão, considerando o sistema composto pelos 2 blocos.

A colisão é perfeitamente inelástica. Isso significa que os blocos vão sair da colisão colados, formando um só bloco de massa 2 m e mesma velocidade final. Da mesma forma que a gente viu agora a pouco, do ponto de colisão até o ponto C não tem atrito, então vamos chamar logo essa velocidade pós-colisão do conjunto de v C , beleza?

Passo 9

E também sabemos que não tem forças externas atuando então o momento linear se conserva.

O bloco da esquerda chega com uma velocidade v B = 2 g h , enquanto o outro está parado. Então a equação de conservação do momento linear é:

m v B + m ⋅ 0 = 2 m v C

⇒ m 2 g h = 2 m v C

⇒ 2 g h = 2 v C

⇒ v C = 2 g h 2 = g h 2  

Passo 10

c)

Do momento logo depois da colisão entre os blocos até a colisão deles com a mola, a variação Δ E m da energia mecânica é dada por:

Δ E m = W n ã o - c o n s e r v a t i v a s

E até o conjunto chegar na mola, a única força não-conservativa que atua nele é a força de atrito, no trecho C D . Portanto, sendo W a t o trabalho realizado pela força de atrito, temos

Δ E m = W a t

Passo 11

No trecho C D em momento algum o sistema adquire energia potencial, então sua energia mecânica é igual a sua energia cinética. E da mesma forma, sua diferença de energia mecânica é igual à sua diferença de energia cinética, logo:

Δ E m = Δ K = W a t

Obs: usando o teorema trabalho-energia cinética chegaríamos no mesmo resultado.

Passo 12

A força de atrito tem módulo igual a:

f a t = μ N

Como o conjunto está na horizontal e não tem nenhum movimento vertical, a força normal e a força peso se cancelam, então

N = 2 m g

Logo,

f a t = μ 2 m g

Passo 13

O comprimento do trecho C D , que é onde atua a força de atrito, é d . E a força de atrito é contrária ao sentido do deslocamento, então seu trabalho é negativo e dado por:

W a t = - f a t d = - μ 2 m g d

Logo,

Δ E m = - μ 2 m g d

Lembrando que vimos que Δ E m = Δ K ,   isso dá:

Δ K = - μ 2 m g d

Passo 14

Vamos manter o padrão e chamar a velocidade do conjunto no ponto D de v D . Assim, a diferença de energia cinética Δ K no trecho C D é:

Δ K = 1 2 2 m v D 2 - 1 2 2 m v C 2 = m v D 2 - v C 2

Passo 15

Substituindo Δ K = - μ m g d e v C = g h 2 , isso dá:

- μ 2 m g d = m v D 2 - g h 2

⇒ - μ g d = v D 2 2 - g h 4

⇒ - μ g d + g h 4 = v D 2 2

⇒ g h 4 - μ d = v D 2 2

⇒ g h 2 - 2 μ d = v D 2

⇒ v D = g h 2 - 2 μ d

Passo 16

Essa é a velocidade do conjunto no ponto D , mas como de lá até a mola não tem atrito, essa velocidade vai permanecer constante até o momento imediatamente antes da colisão com a mola.

Então a velocidade procurada é

v D = g h 2 - 2 μ d

Passo 17

d)

No trajeto do conjunto enquanto ele comprime a mola até parar, podemos aplicar de novo a conservação da energia mecânica.

O conjunto chega na mola sem energia potencial, então sua energia mecânica E D é igual à sua energia cinética e vale:

E D = 1 2 2 m v D 2

⇒ E D = m g h 2 - 2 μ d 2

⇒ E D = m g h 2 - 2 μ d

Passo 18

Quando o conjunto para, ele não tem mais energia cinética. Então sua energia mecânica final E f é igual à sua energia potencial elástica:

E f = 1 2 k x 2 ,

x sendo a compressão máxima da mola que queremos achar.

Passo 19

Portanto, pela conservação da energia mecânica:

E D = E f

⇒ m g h 2 - 2 μ d = 1 2 k x 2

⇒ m g h - 4 μ d = k x 2

⇒ m g k h - 4 μ d = x 2

⇒ x = m g k h - 4 μ d

Essa é a compressão máxima da mola!

Resposta

a)

v B = 2 g h

b)

v C = g h 2

c)

v D = g h 2 - 2 μ d

d)

x = m g k h - 4 μ d

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