Exercícios Resolvidos de Colisões Inelásticas

PUCRIO, Física B - FIS1026, P2 - 2012.1, Questão 4

Dois pêndulos de igual comprimento L = 100   c m estão situados inicialmente como na figura. O pêndulo da esquerda é solto da altura d = 30   c m e colide contra o outro, que estava inicialmente em repouso. Nesta colisão vamos desprezar a massa dos fios e quaisquer efeitos de atrito.

Suponha primeiramente que a colisão é elástica.

a) Escreva as equações das leis de conservação que caracterizam a colisão em si, relacionando as quantidades relevantes logo antes e logo depois da colisão.

b) Seja o caso particular em que m 1 = m 2 . Encontre a altura que se eleva o corpo m 2 . (Faça os cálculos, não use respostas prontas!)

Agora suponha que a colisão é totalmente inelástica.

c) Se m 2 = 2 m 1 , a que altura se eleva o centro de massa do conjunto após a colisão?

Passo 1

a)

Temos um sistema composto por 2 pêndulos que colidem.

Como atrito é desprezado, não há nenhuma força externa atuando no nosso sistema, portanto há conservação do momento linear total no instante da colisão!

Ou seja, o momento linear logo antes da colisão é igual ao momento linear logo depois.

Vamos chamar de v 1 i e v 1 f as velocidades do pêndulo 1, logo antes e logo depois da colisão, respectivamente.

Da mesma forma, podemos chamar de v 2 i e v 2 f as velocidades do pêndulo 2, logo antes e logo depois da colisão.

Portanto, pela conservação do momento linear total:

m 1 v 1 i + m 2 v 2 i = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nessa questão também supomos que a colisão é elástica. Então também há conservação da energia cinética total:

1 2 m 1 v 1 i 2 + 1 2 m 2 v 2 i 2 = 1 2 m 1 v 1 f 2 + 1 2 m 2 v 2 f 2

Passo 3

b)

Há 3 etapas nesse movimento:

  1. Queda de m 1 até colidir com m 2
  2. Colisão elástica de m 1 com m 2
  3. Subida de m 2 depois da colisão

Vamos ver o que acontece em cada uma delas!

Passo 4

Etapa 1: Queda de m 1

  • m 1 é solto do repouso, logo sua energia cinética é
  • E c = 0

  • m 1 é solto de de uma altura d em relação a m 2 . Vamos considerar a altura de m 2 como o zero de energia potencial. Assim, a energia potencial gravitacional U g de m 1 é

U g = m 1 g d

Mas ao longo da queda, a energia potencial se transforma em energia cinética, até que logo antes da colisão, m 1 chega na mesma altura de m 2 e temos

U g = 0

Como não há atrito ou forças não-conservativas, pela conservação da energia mecânica, logo antes da colisão toda energia potencial se transformou em energia cinética, logo

E c = m 1 g d

E temos

E c = 1 2 m 1 v 1 i 2

Portanto:

1 2 m 1 v 1 i 2 = m 1 g d

  v 1 i 2 = 2 g d

  v 1 i = 2 g d

A gente sabe que d = 30   c m mas vamos deixar d por enquanto e no final das contas a gente substitui, beleza?

Passo 5

Etapa 2: Colisão

m 2 está em repouso logo antes da colisão, ou seja v 2 i = 0 .

Pra gente achar até que altura m 2 vai subir, temos que achar v 2 f . Então vamos aplicar a conservação do momento linear total! Já vimos antes que

m 1 v 1 i + m 2 v 2 i = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f

Mas nessa questão m 1 = m 2 = m . Então substituindo os valores que já temos:

m v 1 i + m 0 = m v 1 f + m v 2 f

  v 1 i = v 1 f + v 2 f

v 1 f = v 1 i - v 2 f

Passo 6

Agora vamos aplicar a conservação da energia cinética:

1 2 m 1 v 1 i 2 + 1 2 m 2 v 2 i 2 = 1 2 m 1 v 1 f 2 + 1 2 m 2 v 2 f 2

1 2 m v 1 i 2 + v 2 i 2 = 1 2 m v 1 f 2 + v 2 f 2

v 1 i 2 + v 2 i 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

Lembrando que v 2 i = 0 , então

v 1 i 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

Passo 7

Show! Obtivemos o sistema

v 1 f = v 1 i - v 2 f v 1 i 2 = v 1 f 2 + v 2 f 2

Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos:

v 1 i 2 = v 1 i - v 2 f 2 + v 2 f 2

  v 1 i 2 = v 1 i 2 - 2 v 1 i v 2 f + v 2 f 2 + v 2 f 2

  2 v 2 f 2 - 2 v 1 i v 2 f = 0

  2 v 2 f v 2 f - v 1 i = 0

Vamos supor que m 2 vai mexer depois da colisão, ou seja que v 2 f 0 , então:

v 2 f - v 1 i = 0

v 2 f = v 1 i

Portanto, nessa questão, temos

v 2 f = v 1 i = 2 g d

Passo 8

Etapa 3: Subida de m 2 pós-colisão

Agora vai acontecer o inverso do que aconteceu pra m 1 na etapa 1: a energia cinética vai ser completamente transformada em energia potencial gravitacional até m 2 atingir a altura h que procuramos.

Logo depois da colisão, a energia cinética de m 2 é:

E c = 1 2 m 2 v 2 f 2

E quando o corpo atinge a altura h , sua energia potencial é:

U g = m 2 g h

Portanto,

E c = U g

  1 2 m 2 v 2 f 2 = m 2 g h

v 2 f 2 = 2 g h

v 2 f = 2 g h

Opa! Achamos antes v 2 f = 2 g d ! Então

2 g d = 2 g d

h = d = 30   c m

m 2 sobe a uma altura de 30   c m .

Passo 9

c)

Nessa questão m 2 = 2 m 1 e a colisão é totalmente inelástica, então os corpos vão sair grudados, formando um só corpo de massa m 1 + m 2 = 3 m 1 . E, logicamente, v f é a mesma pra m 1 e m 2 .

Novamente temos 3 etapas no movimento:

  1. Queda de m 1 até colidir com m 2
  2. Colisão totalmente inelástica de m 1 com m 2
  3. Subida de 3 m 1 depois da colisão

Vamos ver o que acontece em cada uma delas!

Passo 10

Etapa 1: Queda de m 1

Cara, essa etapa vai ser idêntica à etapa 1 da colisão elástica. Pra essa etapa a natureza da colisão não faz diferença (ela ainda não aconteceu!), então da mesma forma vamos obter

v 1 i = 2 g d

Passo 11

Etapa 2: Colisão totalmente inelástica

Não podemos aplicar a conservação da energia cinética, mas fica tranquilo que pra conservação do momento linear total não tem problema:

m 1 v 1 i + m 2 v 2 i = m 1 v f + m 2 v f

m 1 v 1 i + 2 m 1 v 2 i = 3 m 1 v f

E como v 2 i = 0 :

m 1 v 1 i = 3 m 1 v f

v 1 i = 3 v f

v f = 1 3 v 1 i

v f = 2 g d 3

Passo 12

Etapa 3: Subida do conjunto após a colisão

O corpo sai da colisão com uma energia cinética

E c = 1 2 3 m 1 v f 2

e no fim do movimento, chegando numa altura h que queremos achar, sua energia potencial gravitacional é

U g = 3 m 1 g h

E depois da colisão, podemos aplicar a conservação da energia mecânica sem problemas, ou seja:

1 2 3 m 1 v f 2 = 3 m 1 g h

v f 2 = 2 g h

Substituindo v f = 2 g d 3 :

2 g d 9 = 2 g h

d 9 = h

h = 30 9 3,3   c m

Então o centro de massa do conjunto se eleva de aproximadamente 3,3   c m após a colisão :)

Resposta

a)

Conservação do momento linear total:

m 1 v 1 i + m 2 v 2 i = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f

Conservação da energia cinética total:

1 2 m 1 v 1 i 2 + 1 2 m 2 v 2 i 2 = 1 2 m 1 v 1 f 2 + 1 2 m 2 v 2 f 2

b)

h = d = 30   c m

c)

h = 30 9 3,3   c m

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