Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 21

Calcule a massa de uma lâmina delimitada por x - 1 2 + y - 2 2 = 1 , se a densidade em um ponto é proporcional à distância desse ponto a 1,2 .

Passo 1

A gente sabe que a massa vai ser a integral dupla da densidade:

D δ x , y d A

Mas ele não dá a densidade diretamente, vamos ter que encontrá-la. O enunciado diz que a densidade é proporcional a distância ao ponto 1,2 , que a gente calcula assim:

x - 1 2 + y - 2 2

Então a densidade fica:

δ x , y = k x - 1 2 + y - 2 2

Onde k é só uma constante de proporcionalidade.

E nossa integral fica:

D k x - 1 2 + y - 2 2 d A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que entender o domínio D . Temos uma circunferência centrada em 1,2 de raio 1 , então podemos tentar coordenadas polares deslocadas pra descrever a região, fazendo:

x = r cos θ + 1

y = r sen θ + 2

J = r

E assim, como temos uma circunferência, vamos ter simplesmente 0 θ 2 π , 0 r 1 .

E nossa integral fica:

k 0 2 π 0 1 r cos θ + 1 - 1 2 + r sen θ + 2 + 2 2   r   d r d θ  

Parece um pouco complicada, mas muita coisa vai simpleficar aí, vamos ver!

Passo 3

Vamos ter:

k 0 2 π 0 1 r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ r   d r d θ

k 0 2 π 0 1 r 2   r   d r d θ = k 0 2 π d θ     0 1 r 2 d r

k   θ 0 2 π r 3 3 0 1 = k   2 π 1 3

2 k π 3    

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas