Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 181
Calcule , onde é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferências e .
Passo 1
Como nossa região de integração é limitada por duas circunferências, é uma boa usar coordenadas polares. Vamos definir:
Como já vimos, o Jacobiano dessa transformação é .
Passo 2
Agora vamos analisar os intervalos de integração na figura abaixo:
Vemos que o raio varia entre e e o ângulo entre e .
Perceba que o enunciado disse 1º quadrante!
Passo 3
Vamos, então, montar a integral, substituindo os valores que atribuímos a e :
Esse vem do Jacobiano!
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a :
Mas Então, no fim, fica:
Passo 5
Agora vamos fazer a integração por partes, com;
e
O que nos dá:
e
Substituindo esses valores em
Temos:
Então, o valor da nossa integral é: