Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP, Cálculo 4, P1 - 2010, Questão 3a

Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:

a )   A   s é r i e   n = 0 n ! 2 n 2 n x n   c o n v e r g e   a b s o l u t a m e n t e   s e   x < e 2

Passo 1

a)Esse tipo de cara com fatorial e várias portências, o critério da razão parece cair bem..vamos tentar!

a n + 1 a n = n + 1 ! 2 ( n + 1 ) 2 n + 1 x n + 1 . n 2 n ( n ! ) 2 x n

a n + 1 a n = x . n + 1 2 . n 2 n n + 1 2 n + 2 = x . n 2 n n + 1 2 n = x . 1 1 + 1 n 2 n = x . 1 1 + 1 n n 2

Então vamos lá

l i m n a n + 1 a n = lim n x . 1 1 + 1 n n 2 = x . l i m n 1 1 + 1 n n 2

Sabemos que

li m n 1 + 1 n n = e

Assim:

l i m n a n + 1 a n = x . 1 e 2

Para ser convergente:

x . 1 e 2 < 1

x < e 2

Logo a afirmação é verdadeira!

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Resposta

a)Verdadeira

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