Determinar se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ⋅ 1 1 + n ln ⁡ n

Passo 1

Vamos olhar primeiramente para a série absoluta

∑ n = 1 ∞ - 1 n ⋅ 1 1 + n ln ⁡ n = ∑ n = 1 ∞ 1 1 + n ln ⁡ n

Podemos tentar comparar essa série com outra um pouco mais simples:

∑ n = 1 ∞ 1 n ln ⁡ n

Para poder fazer essa comparação, primeiro precisamos saber se essa série converge ou diverge. Para isso, podemos usar o teste da integral aqui. A integral equivalente vai ser:

∫ 1 ∞ d x x ln ⁡ x  

Nessa integral, está aparecendo o ln ⁡ x e sua derivada 1 / x , então podemos usar o método da substituição simples:

u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

x → ∞ ⟹ u → ∞

u 1 = ln ⁡ 1 = 0

Assim:

∫ 0 ∞ d x x ln ⁡ x = ∫ 0 ∞ d u u = ln ⁡ u ​ 0 ∞ → ∞

Portanto essa integral diverge e, pelo teste da integral

∑ n = 1 ∞ 1 n ln ⁡ n

Diverge.

Passo 2

Legal, temos uma boa série que sabemos que diverge para poder comparar. Não dá para usar o método da comparação aqui, pois

∑ n = 1 ∞ 1 1 + n ln ⁡ n < ∑ n = 1 ∞ 1 n ln ⁡ n

E a série à direita diverge. Então, vamos usar o teste comparação no limite. Temos que:

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + n ln ⁡ n 1 n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n 1 + n ln ⁡ n

Podemos fazer a substituição w = n ln ⁡ n , com n → ∞ ⟹ w → ∞ :

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n 1 + n ln ⁡ n = lim w → ∞ ⁡ w 1 + w = lim w → ∞ ⁡ w / w 1 / w + w / w = lim w → ∞ ⁡ 1 1 / w + 1 = 1

Assim, teremos

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + n ln ⁡ n 1 n ln ⁡ n = 1 > 0

Portanto, como ∑ n = 1 ∞ 1 n ln ⁡ n diverge, segue que

∑ n = 1 ∞ - 1 n ⋅ 1 1 + n ln ⁡ n

não converge absolutamente.

Passo 3

Beleza, sabemos que a série não é absolutamente convergente, mas precisamos saber se é condicionalmente convergente, para isso, vamos considerar:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ⋅ 1 1 + n ln ⁡ n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n ⋅ b n

Segundo o teste da série alterada, ela irá convergir se

b n > b n + 1   ∀ n ≥ 0

lim n → ∞ ⁡ b n = 0 .

Vamos começar verificando

b n > b n + 1   ∀ n ≥ 0

Para isso, definimos f : 1 , ∞ → R tal que

f x = 1 1 + x ln ⁡ x

Assim, temos f n = b n para todo n . Derivando essa função, temos, pela regra da cadeia:

f ' x = 1 + x ln ⁡ x - 1 ' = - 1 1 + x ln ⁡ x 2 ⋅ ln ⁡ x + x x = - 1 + ln ⁡ x 1 + x ln ⁡ x 2 < 0

Portanto, segue que f é estritamente descrente e, portanto

b n > b n + 1   ∀ n ≥ 0 .

Show, um critério já foi. Vamos ver agora

lim n → ∞ ⁡ b n = 0 .

De cara, como temos uma constante no numerador e o denominador é estritamente crescente, segue que

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + n ln ⁡ n = 0 .

Assim, segue pelo teste da série alternada que a série é condicionalmente convergente. 😊

Resposta

Converge condicionalmente.

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