Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP, Cálculo 4, P1 - 2011, Questão 2b

Determine se a série converge condicionalmente ou absolutamente ou diverge.

n = 1 3 n 1 n - 1 n 5 n + 1

Passo 1

Bem galera vamos começar olhando a convergência absoluta dessa série.

O Critério da raiz me parece uma ótima ideia, já que tem uma grande parte da série elevada ao mesmo expoente:

a n = 3 n 1 n - 1 n 5 n + 1

Então temos

lim n a n n = lim n 3 n 1 n - 1 n 5 n + 1 n = lim n 3 n 1 n - 1 n 5 n + 1 n =

lim n 3 n 1 n - 1 5 n + 1 n = lim n 3 n 1 n - 1 5 n 1 + 1 5 n n = lim n 3 n 1 n - 1 5 1 + 1 5 n n

Preciamos achar o limite de

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver o primeiro limite:

lim n n 1 n = 0

Isso é uma indeterminação meio louca, para resolvermos isso temos que lembrar que

a = e ln a

Então

lim n n 1 n = lim n e ln n n = e lim n ln n n

Então precisamos do limite

lim n ln n n =

Isso é uma identerminação que podemos usar L’Hospital

lim n ln n n = lim n ln n ' n ' = lim n 1 n 1 = lim n 1 n = 1 = 0

Assim o nosso limite vai ser

lim n n 1 n = e lim n ln n n = e 0 = 1

Passo 3

Vamos ter

lim n a n n = lim n 3 n 1 n - 1 5 1 + 1 5 n n = 3.0 - 1 5 1 + 0 n = 3.1 - 1 5 = 2 5

Como esse limite é menor que 1 , essa série converge pelo teste da raiz

Como o teste da raiz pega o modulo do cara não faz diverença ser a n ou a n , assim se a série converge ela converge absolutamente, se ela diverge ela diverge mesmo.

Assim a nossa série converge absolutamente.

Resposta

Converge absolutamente

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