Exercícios Resolvidos de Série alternada

UNICAMP, Cálculo 3, P2 - 2011.1 - Noturno, Questão 4c

( c )   Verifique se a série converge condicionalmente, absolutamente ou diverge:

k = 1 - 1 k k ! k k

Passo 1

Para verificarmos a convergência da série

k = 1 - 1 k k ! k k

vamos usar o Teste da Razão. Como a k = - 1 k k ! k k , temos

L = lim k a k + 1 a k

L = lim k - 1 k + 1 ( k + 1 ) ! ( k + 1 ) k + 1 - 1 k k ! k k

L = lim k ( k + 1 ) ! ( k + 1 ) k + 1   k k k !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Escreva k + 1 ! = k + 1 . k ! e k + 1 k + 1 = k + 1 k . ( k + 1 ) :

L = lim k k + 1 . k ! ( k + 1 ) k . ( k + 1 )   k k k !

L = lim k 1 ( k + 1 ) k   . k k

L = lim k k k + 1 k

Passo 3

Agora você precisa lembrar de um limite fundamental...

e = lim k k + 1 k k = lim k 1 + 1 k k

Agora fica fácil, né?

L = lim k k k + 1 k = L = lim k k + 1 k k - 1

L = lim k k + 1 k k - 1

L = e - 1 = 1 e

Como e 2,718 , L = 1 e 0,368 < 1 . Assim, verificamos que a série é absolutamente convergente.

Resposta

Absolutamente convergente.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas