Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

Passo 1

Vamos começar igualando nossa função ao nível genérico n :

arcsen ⁡ x y = n

x y = sen ⁡ n

E essa é a nossa curva de nível.

Beleza, mas ainda precisamos saber quais são os possíveis valores que n pode assumir, pra poder fazer ele variar nesses valores e, assim, obtermos todas as nossas curvas de nível, ou seja, o conjunto de nível da nossa função.

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Passo 2

Mas, antes de saber os valores de n , vamos descrever direitinho qual é o conjunto de nível C n da nossa função f .

Para isso, precisamos saber o domínio da nossa função, porque se a função não estiver definida em algum ponto, também não dá pra ter conjunto de nível nesse ponto, ne?!

Tá, observando nossa função

f x , y = arcsen ⁡ x y

Vemos que o domínio dela é o domínio da função arcoseno.

E, a função arco seno é a função inversa da função seno. Então, o domínio da função arco seno é igual a imagem da função seno.

Assim,

- 1 ≤ x y ≤ 1

Então,

C n f = x , y ∈ R 2   ;   - 1 ≤ x y ≤ 1   e   x y = sen ⁡ n

Passo 3

Agora vamos determinar todos os valores que n pode assumir pra podermos encontrar nossos conjuntos de nível.

Temos

x y = sen ⁡ n

Quais são os valores que o argumento da função seno pode assumir (domínio)?

Qualquer valor entre - π 2 e π 2 , certo?!

Então todos os possíveis valores de n são

- π 2 ≤ n ≤ π 2

Passo 4

Agora vamos fazer o n variar dentro desse intervalo para saber todos os conjuntos de nível da nossa função.

Se n = 0 :

x y = sen ⁡ 0

x y = 0

Ou seja, temos as retas

x = 0

E

y = 0

Se n > 0 (até π / 2 ):

x y ≤ 1

Que são hipérboles com foco na reta y = x , como por exemplo, essa

Que é a hipérbole y = 1 x , a máxima que podemos ter.

Quanto menor que 1 for o valor do numerador, mais próximas da origem as hipérboles estarão.

Se n < 0 (até - π / 2 ):

x x ≥ - 1

Que são hipérboles com foco na reta y = - x , como por exemplo, essa

Que é a hipérbole y = - 1 x , a máxima que podemos ter.

Quanto maior que -1 for o valor do numerador, mais próximas da origem as hipérboles estarão.

Passo 5

Juntando tudo, a representação geométrica de todos os conjuntos de nível que podemos ter é

Resposta

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