1) Seja f x , y = x + y x 2 + y 2 + 1 ,   ∀ x , y ∈ R 2 . Classifique e esboce as curvas de nível z = c . Para quais valores de c temos que a curva de nível correspondente é não vazia? Esboce o gráfico de f .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que obter as curvas de níveis da função f x , y = x + y x 2 + y 2 + 1 , obter os valores de c que as curvas que não são vazias e esboçar o gráfico de f x , y .

E aí, como resolvemos esse problema? 🤔

Para obter as curvas de níveis de uma função, igualamos a função a uma constante c e que cada valor de c corresponde a um nível de z , ou seja, uma altura z do plano x y .

Sacou? Bora ver como fazemos isso. 👀

Passo 2

Igualando f x , y a c , temos

f x , y = x + y x 2 + y 2 + 1 = c

Manipulando essa equação, temos

x + y c = x 2 + y 2 + 1

x 2 - 1 c x + y 2 - 1 c y + 1 = 0

x - 1 2 c 2 - 1 2 c 2 + y - 1 2 c 2 - 1 2 c 2 = - 1

x - 1 2 c 2 + y - 1 2 c 2 = 2 1 2 c 2 - 1

Perceba que essa equação que encontramos, é muito parecido com a equação da circunferência dada genericamente por

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Onde x 0 e y 0 são as coordenadas do centro da circunferência e r é o raio da circunferência.

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Para r , temos que ter sempre um valor maior que 0 , já que raio negativo não existe. Ou seja, o termo 2 1 2 c 2 - 1 tem que ser maior que 0 ...

2 1 2 c 2 - 1 ≥ 0

1 2 c 2 ≥ 1 2

1 4 c 2 ≥ 1 2

4 c 2 ≤ 2

c 2 ≤ 1 2

Como c está ao quadrado, temos que tirar a raiz nos dois lados e quando fazemos isso em uma inequação, temos que aplicar em um intervalo, pois c pode ser positivo ou negativo.

- 1 2 ≤ c ≤ 1 2

- 1 2 ≤ c ≤ 1 2

Portanto, os níveis não vazios de f x , y são os níveis entre c = - 1 2 e c = 1 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 4

Agora vamos esboçar as curvas de níveis de f x , y para c = - 1 2 , c = 1 4 e c = 0 .

Para c = - 1 2 , temos

x - 1 2 - 1 2 2 + y - 1 2 - 1 2 2 = 2 1 2 - 1 2 2 - 1

x + 1 2 + y + 1 2 = 2 - 1 2 - 1

x + 1 2 + y + 1 2 = 1

Ou seja, uma circunferência centrada em - 1 , - 1 e com raio r = 1 .

Agora para c = 1 / 4 ...

x - 1 2 1 4 2 + y - 1 2 1 4 2 = 2 1 2 1 4 2 - 1

x - 1 1 2 2 + y - 1 1 2 2 = 2 1 1 2 2 - 1

x - 2 2 + y - 2 2 = 2 2 2 - 1

x - 2 2 + y - 2 2 = 7

Agora outra circunferência com centro em 2,2 e com raio r = 7

E por fim, para c = 0 , vamos substituir na primeira igualdade de f x , y = c

x + y x 2 + y 2 + 1 = 0

x + y = 0

y = - x

Portanto, em c = 0 , temos uma reta dada por y = - x

Interessante, não é? 😎

Passo 5

E finalmente, para obter o gráfico de f x , y vamos usar o que sabemos das curvas de níveis.

Perceba que quanto mais próximo de c = 0 , maior é o raio da curva de nível e se c for negativo, a circunferência é centrada no terceiro quadrante, já se c for positivo, a circunferência é centrada no primeiro quadrante.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

- 1 2 ≤ c ≤ 1 2