2) Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados

(d) f x , y = x 2 - y 2 , c = - 9 , c = - 1 , c = 0 c = 9 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que calcular e esboçar no plano cartesiano as curvas de níveis solicitadas da função f x , y .

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

Para esboçar a curva de nível de uma função, temos que igualar f x , y a c , onde c representa a curva de nível que vamos substituir.

Na prática, temos uma função tridimensional e c é o plano paralelo ao plano x y de altura c em z . Esse plano corta a função em algum momento e esse corte gera uma curva bidimensional, sendo essa curva nossa curva de nível!

Sacou? Bora começar! 😎

Passo 2

A função foi dada como

f x , y = x 2 - y 2

E os níveis que vamos obter são c = - 9 , c = - 1 , c = 0 e c = 9 .

Igualando f x , y = c , temos

f x , y = x 2 - y 2 = c

x 2 c - y 2 c = 1

A partir dessa equação, podemos perceber que nossas curvas de níveis serão hipérboles...

Por exemplo, para c = - 9

x 2 - 9 - y 2 - 9 = 1 → - x 2 9 + y 2 9 = 1

Para c = - 1

x 2 - 1 - y 2 - 1 = 1 → - x 2 + y 2 = 1

Para c = 0 , vamos usar a equação anterior

x 2 - y 2 = 0 → x = y

E para c = 9

x 2 9 - y 2 9 = 1

Esboçando essas curvas no plano cartesiano, temos

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta