6) Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f x , y ):

(h) z = 2 y - x 2 - y 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos esboçar o gráfico da superfície formada pela equação z = 2 y - x 2 - y 2 .

Parece complicado? 😐

Para esboçar uma superfície que não conseguimos visualizar logo de cara como é seu comportamento, podemos usar algumas técnicas para nos ajudar.

Como por exemplo podemos encontrar curvas de níveis ou intersecções da superfície com um plano, assim, desenhando a curva formada no plano de intersecção podemos obter algo parecido com algumas estruturas da superfície e portanto, ter uma ideia de como é o gráfico de z .

Sacou? Bora começar! 😎

Passo 2

A superfície que vamos esboçar é dada por

z = 2 y - x 2 - y 2

Vamos começar esboçando algumas curvas geradas por intersecções entre a superfície e o plano.

Para satisfazer a igualdade da equação, nosso z tem que ser ≥ 0 .

Então começando por z = 0

0 = 2 y - x 2 - y 2 → 2 y - x 2 - y 2 = 0 → x 2 + y - 1 2 = 1

Em z = 1 2

1 2 = 2 y - x 2 - y 2 → 1 4 = 2 y - x 2 - y 2 → x 2 + y - 1 2 = 3 4

Agora para y = 1

z = 2 1 - x 2 - 1 2 → z = 1 - x 2

Da mesma forma para x = 0

z = 2 y - 0 2 - y 2 → z = 2 y - y 2

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Esboçando cada curva em seu devido plano, vamos obter

Assim, podemos imaginar que nossa superfície seja uma casca esférica definida em z ≥ 0 , ou seja

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta