Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

Passo 1

Vamos começar igualando nossa função ao nível genérico n :

y sen ⁡ x = n

E esse é a nosso conjunto de nível.

C n f = x , y ∈ R 2   ; y sen ⁡ x = n  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, mas ainda precisamos saber quais são os possíveis valores que n pode assumir, pra poder fazer ele variar nesses valores e, assim, obtermos todos os conjuntos de nível da nossa função.

Vamos começar determinando todos os valores que n pode assumir pra podermos encontrar nossos conjuntos de nível.

Temos

y sen ⁡ x = n

Isso não tem restrição nenhuma, né? Então significa que nosso n pode assumir qualquer valor.

Então

n ∈ R

Passo 3

Agora vamos fazer o n variar dentro desse intervalo para saber todos os conjuntos de nível da nossa função.

Se n = 0 :

y sen ⁡ x = 0

E pra isso acontecer,

y = 0

Que é uma reta.

Ou

sen ⁡ x = 0

E isso acontece quando

x = k π

Para todo valor inteiro de k .

E isso também são retas, paralelas ao eixo y .

Agora, se n ≠ 0 :

y sen ⁡ x ≠ 0

y = n 1 sen ⁡ x = n csc ⁡ x

Teremos o gráfico de y = csc ⁡ x , deslocando ele, conforme variamos o valor de n .

O gráfico de y = csc ⁡ x é:

Além disso, se fizermos o n ser negativo, o que acontece é que vamos espelhar o gráfico e aí teremos

Passo 4

Juntando tudo, a representação geométrica de todos os conjuntos de nível que podemos ter é

Resposta

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