Determine o domínio da função dada e represente-o graficamente. Esboce duas curvas de nível para cada função.

c )   f x , y = 1 + x 2 + y 2

Passo 1

Oii gente bonita do Responde Aí, como vocês estão?

Nessa questão recebemos a função de duas variáveis dada por:

f x , y = 1 + x 2 + y 2

Sobre essa função precisamos determinar o seu domínio e representar o conjunto desse domínio graficamente. Além disso, também precisamos esboçar duas curvas de nível dessa função.

Beleza?!

Tá, mas vamos com calma em cada uma dessas coisas. Primeiramente, vocês lembram o que é o domínio?

Então, nada mais é do que o conjunto de pontos ( x , y ) que podem servir de entrada na nossa função sem que a gente tenha algum absurdo matemático. Ou seja, na prática precisamos verificar os pontos ( x , y ) que são restrição na nossa função.

Já as curvas de nível podemos calcular igualando a função f ( x , y ) a uma constante, tipo assim:

1 + x 2 + y 2 = c

Daí, o enunciado nos pede para colocar dois valores pra essa constante c e esboçar a curva formada.

Show de bola! Vamos começar analisando se tem alguma restrição no domínio da nossa função e depois esboçamos o conjunto e as curvas de nível!

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom, temos a função:

f x , y = 1 + x 2 + y 2

A única coisa que poderia nos dar um probleminha é essa raiz quadrada. Sempre que temos uma raiz aparece uma restrição matemática, pois o radicando precisa ser maior ou igual a zero. Assim:

1 + x 2 + y 2 ≥ 0

Logo:

x 2 + y 2 ≥ - 1

Mas, se pensarmos direitinho sobre a equação acima veremos que ela sempre é verdadeira. Pois:

x 2 + y 2 ≥ 0 > - 1

Logo, o domínio de f são todos as duplas ( x , y ) em R 2 . Ou seja, é todo o plano R 2 .

Basicamente, é isso aí mesmo gente haha. O plano R 2 todinho 😊

Passo 3

Sobre as curvas de nível, vimos no passo 1 que elas seguem a equação:

1 + x 2 + y 2 = c

Daí, precisamos escolher dois valores para c já que queremos duas curvas de nível. Começando com c = 2 , temos:

1 + x 2 + y 2 = 2

1 + x 2 + y 2 = 4

∴ x 2 + y 2 = 3

Essa é a equação de uma circunferência centrada em ( 0,0 ) e com raio valendo 3 .

Vamos agora escolher c = 3 , temos:

1 + x 2 + y 2 = 3

1 + x 2 + y 2 = 9

∴ x 2 + y 2 = 8

Que é uma circunferência centrada em ( 0,0 ) e com raio valendo 2 2 . Logo:

Aeee, muito bom galera! Matamos mais uma questão 😊

Resposta

Resposta no texto.