Dada f   ( x ,   y )   =   x ² y .

c) Esboce o ∇ f   ( 1 ,   1 ) e a curva de nível x ² y = 1 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular o gradiente da função f(x,y) no ponto (1,1) e a curva de nível para f(x,y) =1. Primeiro, vamos dar uma olhada na superfície definida por f(x,y): temos que para planos de y constante e positivo, as curvas f(x) são parábolas com concavidade positiva, enquanto que, para planos de y constante e negativo, as curvas são parábolas com concavidade negativa, como vemos nos esboços abaixo, onde os eixos x, y e z estão representados, respectivamente, em vermelho, verde e azul:

Da segunda imagem (que representa a vista do plano xy a partir do eixo z), vemos que as curvas de f(x,y) constante são da forma

y   α   1 x ²  

Em particular, para f(x,y) = 1, temos que a função y(x) é dada por

y ( x ) = 1 x ²

Essa função vai rapidamente à zero para valores de x grandes, devido ao denominador e, similarmente, cresce rapidamente conforme nos aproximamos de x = 0. Devido ao termo quadrático, temos que a função é simétrica em relação ao eixo x, de modo que é sempre positiva, como esboçado na figura a seguir:

Agora, só precisamos calcular o gradiente da função no ponto (1,1). Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais da função. Então vamos lá derivar!

Passo 2

Para obter o gradiente no ponto (1,1), precisamos derivar a função de duas variáveis. Para isso, consideramos a variável y como constante e derivamos em relação à x. Então, temos que:

∂ f ∂ x =   y × ∂ ∂ x x ² =   2 x y

No ponto (1,1), essa expressão é igual à 2. Agora fazemos a mesma coisa para y, dessa vez considerando x como constante:

  ∂ f ∂ y = x ² × ∂ y ∂ y = x ²

Em (1,1), a expressão acima assume o valor 1. Então, como o gradiente de uma função é dado por ∇ f   ( x ,   y ) = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , temos que

∇ f   ( 1 ,   1 ) = 2 ,   1

Graficamente, temos no ponto (1,1) da curva um vetor que é perpendicular à curva tangente nesse ponto, como esperado, visto que o gradiente é sempre perpendicular às curvas de nível. A figura a seguir ilustra a curva de nível f(x,y) = 1 e o vetor gradiente no ponto (1,1):

Resposta

Ao decorrer da questão.