22. Descreva e esboce as curvas de nível e o gráfico da função:

e) f x , y = x 2 - y 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter algumas curvas de níveis da função f x , y = x 2 - y 2 e esboçar o gráfico dessa função.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

As curvas de nível de uma função f x , y são conjuntos de pontos no plano x y onde a função tem um mesmo valor de z . Ou seja, as curvas de nível são os conjuntos de pontos que satisfazem a equação f x , y = z , onde z é um valor do eixo z .

Para plotar as curvas de nível de uma função, podemos utilizar um gráfico bidimensional no plano x y e traçar as curvas que correspondem a cada valor de z da função.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar definindo alguns valores de z para substituir na função

Podemos usar z = - 1 , z = 0 e z = 2 .

Fazendo f x , y = z , temos

x 2 - y 2 = z

y 2 = x 2 - z

y = ± x 2 - z

Começando por z = - 1 , temos

y = ± x 2 - - 1 = ± x 2 + 1

Então nesse caso vamos ter duas curvas dadas por

y = x 2 + 1 - x 2 + 1

Plotando essas parábolas no plano, temos

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora para o nível z = 0 , temos

y = ± x 2 - 0 = ± x 2

E novamente vamos ter duas retas dadas por

y = x - x

Ou seja

E por último, no nível z = 2 , temos

= ± x 2 - 2 = ± x 2 - 2

Dessa vez as duas curvas são dadas por

y = x 2 - 2 - x 2 - 2

Legal, né? 😉

Passo 4

E finalmente, podemos usar essas curvas de níveis para determinar o gráfico de f x , y em três dimensões.

Esboçando cada curva em seu respectivo nível de z e estimando o comportamento da função entre um nível e outro, vamos chegar em

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

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