Descreva e esboce as curvas de nível e o gráfico da função:

h )   f x , y = 4 - x 2 - y 2

Passo 1

Oiii gente, tudo bom?

Nessa questão recebemos a função de duas variáveis dada por:

f x , y = 4 - x 2 - y 2

E, precisamos determinar a curva de nível dessa função, bem como o seu gráfico.

Pra determinar a curva de nível basta igualarmos a função dada a uma constante. A partir disso, analisamos a curva que será formada no plano.

Já para determinar o gráfico da função de duas variáveis, precisamos analisar a figura tridimensional que a nossa lei de função irá gerar.

Vem com a gente que esses passos vão ficar super claros 😊

Passo 2

Começando pela curva de nível, precisamos igualar a expressão da lei de formação a uma constante.

Assim:

c = 4 - x 2 - y 2

Daí, elevando ao quadrado em ambos os lados, vamos ter:

c 2 = 4 - x 2 - y 2

Logo:

x 2 + y 2 = 4 - c 2

Essa é justamente a equação de uma circunferência, centrada em ( 0,0 ) e com raio valendo:

4 - c 2

Ou seja, precisamos ter:

c ≤ 2

Assim, podemos esboçar a curva de nível da função:

Perfeito!

Passo 3

Agora que já desenhamos a curva de nível, vamos pensar no gráfico da função.

Como já sabemos que a curva de nível é uma circunferência, podemos imaginar que o gráfico da função é formado pela superposição dessas curvas de nível, onde cada uma delas tem o valor da constante um pouco maior.

Além disso, quando:

x 2 + y 2 = 4

Porém existe a limitação do termo dentro da raiz quadrado. Ou seja, quando:

x 2 + y 2 = 4

z = 0

A função só pode existir até esse valor.

Logo, temos:

Prontinho!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.