6) Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f x , y ):

(b) z = - 9 - x 2 - y 2

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos esboçar o gráfico da superfície formada pela equação z = - 9 - x 2 - y 2 .

Parece complicado? 😐

Para esboçar uma superfície que não conseguimos visualizar logo de cara como é seu comportamento, podemos usar algumas técnicas para nos ajudar.

Como por exemplo podemos encontrar curvas de níveis ou intersecções da superfície com um plano, assim, desenhando a curva formada no plano de intersecção podemos obter algo parecido com algumas estruturas da superfície e portanto, ter uma ideia de como é o gráfico de z .

Sacou? Bora começar! 😎

Passo 2

A superfície que vamos esboçar é dada por

z = - 9 - x 2 - y 2

Fazendo z = c , sendo c o nível das curvas de níveis, temos

c = - 9 - x 2 - y 2

Simplificando...

c 2 = 9 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 9 - c 2

Para satisfazer a primeira igualdade, só podemos definir c para valores ≤ 0 . Além disso, podemos definir que a equação das curvas de níveis são circunferências de raio 9 - c 2

Ou seja, para c = 0

x 2 + y 2 = 9 - 0 2 → x 2 + y 2 = 9

E para c = - 2

x 2 + y 2 = 9 - - 2 2 → x 2 + y 2 = 5

Agora voltando para a primeira igualdade, vamos obter a curva de intersecção entre a superfície e o plano x = 0

z = - 9 - 0 2 - y 2 → z = - 9 - y 2

Fazendo o mesmo para o plano y = 0

z = - 9 - x 2 - 0 2 → z = - 9 - x 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Esboçando cada curva obtida em seus devidos planos e níveis, temos

Assim, podemos ter uma noção de como a superfície se comporta no espaço e como ela se parece.

Assim, esboçando a superfície, temos

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta