2. Considere a função f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2 - 1 .

b) Esboce a curva de nível de f que passa pelo ponto 2 , 0 .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos obter a curva de nível que corta a função f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2 - 1 no ponto 2 , 0 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

a curva de nível de uma função é uma curva que é formada ao se cortar a superfície da função em um determinado nível em z .

Portanto a primeira coisa que temos que fazer é descobrir qual é o nível que contêm o ponto 2 , 0 da função f .

Depois igualamos a função f a uma variável c e definimos uma curva bidimensional a partir da equação resultante.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar substituindo o ponto 2 , 0 em f para saber qual nível de f pertence o ponto...

f 2 , 0 = ln ⁡ 2 2 + 0 2 - 1 = ln ⁡ 2 - 1

f 2 , 0 = ln ⁡ 1

f 2 , 0 = 0

Ou seja, queremos esboçar o nível 0 de f ...

Igualando f a c , temos

f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2 - 1 = c

Fazendo c = 0

ln ⁡ x 2 + y 2 - 1 = 0

Elevando os dois lados a e para simplificar a equação

e ln ⁡ x 2 + y 2 - 1 = e 0

x 2 + y 2 - 1 = 1

x 2 + y 2 = 2

Esboçando a circunferência de raio r = 2 centrada na origem, temos

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

x 2 + y 2 = 2