Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

Passo 1

Vamos começar igualando nossa função ao nível genérico n :

arctan ⁡ ( x 2 + y 2 ) = n

x 2 + y 2 = tan ⁡ n

E essa é nosso conjunto de nível.

Beleza, mas ainda precisamos saber quais são os possíveis valores que n pode assumir, pra poder fazer ele variar nesses valores e, assim, obtermos todas as nossas curvas de nível, ou seja, o conjunto de nível da nossa função.

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Passo 2

Mas, antes de saber os valores de n , vamos descrever direitinho qual é o conjunto de nível C n da nossa função f .

Para isso, precisamos saber o domínio da nossa função, porque se a função não estiver definida em algum ponto, também não dá pra ter conjunto de nível nesse ponto, ne?!

Tá, observando nossa função

f x , y = arctan ⁡ ( x 2 + y 2 )

Vemos que o domínio dela é o domínio da função arco tangente.

E, a função arco tangente é a função inversa da função tangente. Então, o domínio da função arco tangente é igual a imagem da função tangente.

Assim,

- ∞ ≤ x 2 + y 2 ≤ ∞

Então,

C n f = x , y ∈ R 2   ; x 2 + y 2 = tan ⁡ n  

E esse é a nosso conjunto de nível.

Passo 3

Beleza, mas ainda precisamos saber quais são os possíveis valores que n pode assumir, pra poder fazer ele variar nesses valores e, assim, obtermos todas as nossas curvas de nível, ou seja, o conjunto de nível da nossa função.

Vamos começar determinando todos os valores que n pode assumir pra podermos encontrar nossos conjuntos de nível.

Temos

x 2 + y 2 = tan ⁡ n

Se observarmos direitinho isso, podemos enxergar isso como a equação de uma circunferência centrada na origem, de raio tan ⁡ n .

Assim, temos uma restrição de raiz.

tan ⁡ n ≥ 0

E isso acontece quando

0 ≤ n < π 2

Passo 4

Agora vamos fazer o n variar dentro desse intervalo para saber todos os conjuntos de nível da nossa função.

Se n = 0 :

x 2 + y 2 = tan ⁡ 0 = 0

Ou seja, temos a origem.

Se n > 0 (até π / 2 ):

x 2 + y 2 = tan ⁡ n

Que são circunferências centradas na origem, de raio tan ⁡ n .

Quanto maior o valor de n , maior o raio da nossa circunferência.

Passo 5

Juntando tudo, a representação geométrica de todos os conjuntos de nível que podemos ter é

Resposta

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