Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

Resolva o que se pede:

Faça o mapa de contorno da função abaixo, mostrando várias curvas de nível:

f x , y = ln ⁡ x 2 + 4 y 2

Passo 1

Para achar as curvas de nível de uma função qualquer, sempre temos que fazer:

f x , y = k

Assim

f x , y = ln ⁡ x 2 + 4 y 2 = k

Daí, passando a exponencial dos dois lados, pra tirar esse l n , temos que

e ln ⁡ x 2 + 4 y 2 = e k

Das propriedades do logaritmo:

x 2 + 4 y 2 = e k

Ou seja, só precisamos esboçar vários gráficos dessa forma, fazendo variar o k .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, mas o que danado são esses gráficos??

x 2 + 4 y 2 = e k

Vamos dividir os dois por e k pra ver se isso te lembra alguma coisa:

x 2 e k + 4 y 2 e k = 1

OPA, pera aê, pera aê, pera aê...

Isso tá me lembrando a equação geral de uma elipse, que é

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

E, de fato, se arrumarmos só um pouquinho mais essa expressão, teremos

x 2 e k + y 2 e k 4 = 1

Ou seja, quando variamos o valor da constante k , temos, portanto, elipses centradas na origem, com semi eixos e k em x e e k 4 em y .

Passo 3

É só a gente arbitrar valores de k e desenhar essas elipses então

Vamos arbitrar k = 0 :

x 2 1 + y 2 1 4 = 1

Que é

Se fizermos k = 1 :

x 2 e + y 2 e 4 = 1

Que é

E, se fizermos k = 2 :

x 2 e 2 + y 2 e 2 4 = 1

Bom, deu pra perceber então que, conforme a gente aumenta o valor de k , aumentamos os semieixos da nossa elipse.

Passo 4

Agora, pra fazer o mapa de contorno, é só a gente desenhar todas essas elipses num desenho só, assim:

Os: repare que eu ainda desenhei mais uma elipse... Você não precisava fazer tantas, eu só fiz mais uma pra te mostrar que o mapa de contorno surge conforme a gente vai variando o valor de k .

Resposta

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