1.2. Esboce uma família de curvas de nível das seguintes funções:

b) f x , y = x - 1 - y 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nosso objetivo nessa questão é esboçar algumas curvas de níveis da função f x , y = x - 1 - y 2 .

E aí, como fazemos isso? 🤔

Para esboçar uma curva de nível podemos imaginar que uma curva de nível é o gráfico formado pela intersecção de f com um plano z = k , em que k representa o nível (a altura) com relação ao plano x y .

Na prática, temos que fazer f x , y = k e assim determinar valores para k para obter funções bidimensionais.

Vamos ver como é isso! 😉

Passo 2

Fazendo f x , y = k , temos

f x , y = x - 1 - y 2 = k

Vamos tentar isolar y em um lado da igualdade

1 - y 2 = k - x → 1 - y 2 2 = k - x 2

1 - y 2 = k - x 2

k - x 2 + y 2 = 1

Com isso vemos que as curvas de níveis de f serão circunferências de raio 1 centradas em x , y = k , 0

Agora o próximo passo é determinar valores para k para obter curvas bidimensionais

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Vamos fazer para os níveis k = - 2 , k = 0 e k = 1 ...

Para k = - 2 ...

- 2 - x 2 + y 2 = 1

Para k = 0

0 - x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = 1

Já para k = 1

1 - x 2 + y 2 = 1

Esboçando essas curvas no plano x y , vamos obter que as curvas de níveis que determinamos para f são dadas por

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

k - x 2 + y 2 = 1