(1) Seja f x , y = 1 1 - x 2 - y 2 .

b) Descreva as curvas de nível de f , esboçando na sua figura do domínio curvas típicas

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que obter algumas curvas de níveis de f x , y = 1 1 - x 2 - y 2 e esboçá-las no plano cartesiano.

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para obter as curvas de níveis de uma função f , fazemos f = c onde c representa o nível da curva.

Com isso, atribuindo valores a c , encontramos a curva relacionada a aquele nível.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

No caso, nossa função é dada por

f x , y = 1 1 - x 2 - y 2

Fazendo f x , y = c

1 1 - x 2 - y 2 = c

Elevando os dois lados ao quadrado...

1 1 - x 2 - y 2 2 = c 2 → 1 1 - x 2 - y 2 = c 2

1 - x 2 - y 2 = 1 c 2

x 2 + y 2 = 1 - 1 c 2

Para que essa igualdade seja verdadeira, o lado direito da igualdade deve ser maior que 0 , pra isso, c tem que ser maior a 1

c > 1

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Para c = 2 , vamos obter

x 2 + y 2 = 1 - 1 2 2 = 1 2

Agora para c = 2 , temos

x 2 + y 2 = 1 - 1 2 2 = 3 4

E para c = 5

x 2 + y 2 = 1 - 1 5 2 = 24 25

Esboçando essas curvas no plano cartesiano, temos

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

x 2 + y 2 = 1 - 1 c 2