Determine o domínio da função dada e represente-o graficamente. Esboce duas curvas de nível para cada função.

a )   f x , y = x y y - 2 x

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo tranquilo com vocês?

Nessa questão recebemos a função de duas variáveis dada por:

f x , y = x y y - 2 x

Sobre essa função precisamos determinar o seu domínio e representar o conjunto desse domínio graficamente. Além disso, também precisamos esboçar duas curvas de nível dessa função. Beleza?!

Tá, mas vamos com calma em cada uma dessas coisas. Primeiramente, vocês lembram o que é o domínio?

Então, nada mais é do que o conjunto de pontos ( x , y ) que podem servir de entrada na nossa função sem que a gente tenha algum absurdo matemático. Ou seja, na prática precisamos verificar os pontos ( x , y ) que são restrição na nossa função.

Já as curvas de nível podemos calcular igualando a função f ( x , y ) a uma constante, tipo assim:

x y y - 2 x = c

Daí, o enunciado nos pede para colocar dois valores pra essa constante c e esboçar a curva formada.

Show de bola! Vamos começar analisando se tem alguma restrição no domínio da nossa função e depois esboçamos o conjunto e as curvas de nível!

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom, temos a função:

f x , y = x y y - 2 x

Massa! Analisando essa função, como se trata de uma fração a possível restrição que teríamos é quanto ao valor do denominador. Matematicamente, nunca podemos dividir por zero, assim esse denominador nunca pode ser nulo.

y - 2 x ≠ 0

∴ y ≠ 2 x

Logo, os pontos ( x , y ) não podem ser do tipo:

x , y = x , 2 x

= x ( 1,2 )

Basicamente, ( x , y ) pode assumir qualquer valor no R 2 , exceto os pontos que estão na reta:

y = 2 x

Assim, podemos escrever o conjunto do domínio como:

D f = x , y ∈ R 2   x , y ≠ t 1,2 ,     ∀   t ∈ R }  

Massa! Agora podemos esboçar esse conjunto. Como falamos antes, é todo R 2 exceto pela reta y = 2 x . Logo:

Assim, toda a nossa região exceto pela reta verde corresponde ao domínio de f .

Passo 3

Por fim, vamos para as curvas de nível. Como vimos no passo 1 , a equação de uma curva de nível é determinada por:

x y y - 2 x = c

Já que precisamos determinar duas curvas de nível, podemos colocar c = 1 e c = - 1 . Daí, vamos ter:

Se c = 1 :

x y y - 2 x = 1

∴ x y = y - 2 x

⇒ y - x y - 2 x = 0

Daí, isolando y :

y = 2 x x - 1

Pra ficar mais evidente, podemos fazer a mudança de variável:

u = x - 1

Assim:

y = 2 u + 1 u

∴ y = 2 + 2 u

É a equação de uma hipérbole! Esboçando a curva, temos:

Excelente!

Já quando c = - 1 , vem:

x y y - 2 x =   - 1

∴ x y = - y + 2 x

⇒ y = 2 x x + 1

Que, fazendo:

u = x + 1

Nos dá:

y = 2 - 2 u

Que também é uma hipérbole, que pode ser esboçada como:

Prontinho! Assim finalizamos a nossa questão 😊

Até a próxima pessoal!!

Resposta

Resposta no texto.