22. Descreva e esboce as curvas de nível e o gráfico da função:

a) f x , y = x - 1 2 + y 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter algumas curvas de níveis da função f x , y = x - 1 2 + y 2 e esboçar o gráfico dessa função.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

As curvas de nível de uma função f x , y são conjuntos de pontos no plano x y onde a função tem um mesmo valor de z . Ou seja, as curvas de nível são os conjuntos de pontos que satisfazem a equação f x , y = z , onde z é um valor do eixo z .

Para plotar as curvas de nível de uma função, podemos utilizar um gráfico bidimensional no plano x y e traçar as curvas que correspondem a cada valor de z da função.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar definindo alguns valores de z para substituir na função

Podemos usar z = 1 , z = 2 e z = 3 .

Para z = 1 , temos

f x , y = z

x - 1 2 + y 2 = 1

Perceba que essa equação é exatamente a equação da circunferência com raio 1

Só recapitulando, a equação genérica de uma circunferência é dada por x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2 onde x 0 e y 0 são as coordenadas do centro da circunferência e r é o raio dessa circunferência.

Portanto, essa equação resulta em uma circunferência de raio 1 e centro em 1,0 .

Plotando essa curva temos...

Entendeu essa parte? 😊

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa para z = 2

f x , y = z = 2

x - 1 2 + y 2 = 2

Nessa equação temos também uma circunferência centrada em 1,0 e com raio r = 2 .

Plotando essa curva, vamos obter

E por último, fazendo z = 3 podemos adiantar que será a mesma circunferência só que com raio r = 3

f x , y = z = 3

x - 1 2 + y 2 = 3

Plotando essa curva em z = 3

Bacana, não é? 😁

Passo 4

E finalmente, podemos usar essas curvas de níveis para determinar o gráfico de f x , y em três dimensões.

Esboçando cada curva em seu respectivo nível de z e estimando o comportamento da função entre um nível e outro, vamos chegar em

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

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