Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2009.2, Questão 4a

Dada a função f x ,   y = 5 - 4 x 2 + y 2 .

Determine e identifique as curvas de nível de f ( x ,   y ) .

Passo 1

Curvas de nível:

f x ,   y = k

5 - 4 x 2 + y 2 = k

A primeira coisa que temos que perceber é que

4 x 2 + y 2 0

- 4 x 2 + y 2 0

5 - 4 x 2 + y 2 5

Então

k 5

Vamos agora analisar as curvas de nível

4 x 2 + y 2 = 5 - k

4 x 2 + y 2 = 5 - k 2

Se o lado direito da equação for diferente de zero então podemos dividir:

4 5 - k 2 x 2 + 1 5 - k 2 y 2 = 1

E essa é a equação característica da elipse.

Por outro lado, se o lado direito daquela equação acima for zero, então:

4 x 2 + y 2 = 0

y 2 = - 4 x 2

Essa equação só pode ser satisfeita se:

x = y = 0

Esse resultado é apenas um ponto.

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Resposta

4 5 - k 2 x 2 + 1 5 - k 2 y 2 = 1 , se k < 5 (elipse)

x = y = 0 , se k = 5 (ponto)

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