Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

Passo 1

Vamos começar igualando nossa função ao nível genérico n :

x y - 1 = n

x = n ( y - 1 )

E esse é nosso conjunto de nível.

Beleza, mas ainda precisamos saber quais são os possíveis valores que n pode assumir, pra poder fazer ele variar nesses valores e, assim, obtermos todos os conjuntos de nível da nossa função.

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Passo 2

Mas, antes de saber os valores de n , vamos descrever direitinho qual é o conjunto de nível C n da nossa função f .

Para isso, precisamos saber o domínio da nossa função, porque se a função não estiver definida em algum ponto, também não dá pra ter conjunto de nível nesse ponto, ne?!

Tá, observando nossa função

f x , y = x y - 1

Vamos que ela tem a restrição do denominador. Então

y - 1 ≠ 0

y ≠ 1

Assim

C n f = x , y ∈ R 2   ;   y ≠ 1   e   x = n ( y - 1 )

Passo 3

Beleza, mas ainda precisamos saber quais são os possíveis valores que n pode assumir, pra poder fazer ele variar nesses valores e, assim, obtermos todos os conjuntos de nível da nossa função.

Vamos começar determinando todos os valores que n pode assumir pra podermos encontrar nossos conjuntos de nível.

Temos

x = n ( y - 1 )

Isso não tem restrição nenhuma, né? Então significa que nosso n pode assumir qualquer valor.

Então

n ∈ R

Passo 4

Agora vamos fazer o n variar dentro desse intervalo para saber todos os conjuntos de nível da nossa função.

Nosso conjunto de nível é

x = n ( y - 1 )

E isso nada mais é do que a equação de uma reta.

Fazendo o n variar para n = 0 , n > 0 e n < 0 , o que acontece é que a gente estará mudando a inclinação da nossa reta.

Maaaaas, antes de sair indo pra representação geométrica dos nossos conjuntos de nível (as tais das retas), a gente tem que lembrar que nossa função não tá definida em y = 1 , o que significa que nossas retas NÃO podem passar por esse ponto, beleza?

Então quando a gente tiver desenhando, em y = 1 a gente tem que “fazer um furo” na reta.

Passo 5

Então, a representação geométrica de todos os conjuntos de nível que podemos ter fica assim

Resposta

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