Descreva e esboce as curvas de nível e o gráfico da função:

f )   f x , y = 4 x 2 + y 2

Passo 1

Faaaala gente bonita, tudo bem com vocês?

Nessa questão recebemos a função de duas variáveis dada por:

f x , y = 4 x 2 + y 2

E, precisamos determinar a curva de nível dessa função, bem como o seu gráfico.

Pra determinar a curva de nível basta igualarmos a função dada a uma constante. A partir disso, analisamos a curva que será formada no plano.

Já para determinar o gráfico da função de duas variáveis, precisamos analisar a figura tridimensional que a nossa lei de função irá gerar.

Vem com a gente que esses passos vão ficar super claros 😊

Passo 2

Começando pela curva de nível, precisamos trocar f ( x , y ) por uma constante na sua lei de formação.

Assim:

f x , y = c = 4 x 2 + y 2

Ou seja:

4 x 2 + y 2 = c

∴ x 2 c 4 + y 2 c = 1

Fazendo:

c 4 = a 2

c = b 2

A equação pode ser reescrita, como:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Essa é a equação de uma elipse, centrada em ( 0,0 ) , e com semi-eixos valendo c / 2 e c .

Essa elipse é justamente a curva de nível de f .

Podemos esboçá-la como:

(consideramos c = 1 para desenhar o gráfico).

Passo 3

Vamos agora determinar o gráfico da função. Temos:

f x , y = 4 x 2 + y 2

Como já sabemos que a curva de nível é uma elipse, podemos imaginar que o gráfico da função é formado pela superposição dessas curvas de nível, onde cada uma delas tem o valor da constante um pouco maior.

Assim, esperamos ter uma espécie de cone onde em x = y = 0 , ele se restringe a um ponto.

Prontinho gente! É isso aí!

Até a próxima ���

Resposta

Resposta no texto.