1.7. Seja f x , y = 2 x 2 + 4 y 2 x 2 + y 2 + 1 .

b. Encontre uma curva derivável γ , definida num intervalo I ⊂ R , cuja imagem seja a curva de nível de f do nível c = 1 .

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dado uma função f e nosso objetivo é basicamente obter a equação da curva de nível de f em c = 1 e obter sua parametrização.

E aí, parece complicado? 😐

Para obter as curvas de níveis de uma função, temos que fazer f x , y = c onde c representa o nível que queremos representar.

Assim, vamos ter uma equação de duas variáveis e parametrizando essa equação, vamos reescrevê-la usando um vetor com uma única variável.

Conseguiu entender? 🤔

Passo 2

Vamos começar fazendo f x , y = c

f x , y = 2 x 2 + 4 y 2 x 2 + y 2 + 1 = c

2 x 2 + 4 y 2 = c x 2 + y 2 + 1

Simplificando um pouquinho

2 x 2 + 4 y 2 = c x 2 + c y 2 + c

2 x 2 - c x 2 + 4 y 2 - c y 2 = c

2 - c x 2 + 4 - c y 2 = c

2 - c x 2 c + 4 - c y 2 c = 1

x 2 c 2 - c + y 2 c 4 - c = 1

Agora fazendo c = 1 , vamos obter

x 2 1 2 - 1 + y 2 1 4 - 1 = 1

x 2 + y 2 1 3 = 1

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Pelo que podemos perceber ao analisar essa equação, podemos perceber que se trata de uma elipse.

Assim podemos parametrizar usando leis trigonométricas com x = sen ⁡ t e para satisfazer a equação, y = 1 3 cos ⁡ t .

x 2 + y 2 1 3 = 1 → sen ⁡ t 2 + 1 3 cos ⁡ t 2 1 3 = 1

s en 2 ⁡ t + 1 3 cos 2 ⁡ t 1 3 = 1

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

1 = 1

Nesse caso, como nossa equação inicial se trata de uma elipse completa, aqui t deve variar de 0 a 2 π para envolver toda a curva.

Assim, o vetor paramétrico γ t é dado por

  γ t = sen ⁡ t , 1 3 cos ⁡ t ,     t ∈ 0,2 π

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

γ t = sen ⁡ t , 1 3 cos ⁡ t ,     t ∈ 0,2 π