3 - Considere a função f x , y = - x - 5 y e a região A = x , y ∈ R 2 5 x + 6 y ≤ 30 ,   3 x + 2 y ≤ 12 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 .

(a) Esboce em um único desenho a região A e as curvas de nível de f .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, estamos interessados em obter a região A e as curvas de níveis de f em A .

E aí, como podemos fazer isso? 😁

Curvas de nível são uma maneira de visualizar graficamente as soluções de uma função com duas variáveis. São linhas que conectam pontos na superfície de uma função que possuem o mesmo valor da função. Em outras palavras, para uma função f x , y , as curvas de nível representam os pontos x , y onde f x , y é constante.

Para obter as curvas de nível de uma função f x , y , você precisa seguir os seguintes passos:

Escolha alguns valores constantes para f x , y , por exemplo, f x , y = 0 , f x , y = 1 , f ( x , y ) = 2 ...

Para cada valor constante escolhido, resolva a equação f ( x , y ) = constante para obter uma expressão para a curva de nível correspondente.

E por fim, trace as curvas de nível obtidas em um gráfico 2D com eixos x e y .

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Vamos começar esboçando a região A .

Essa região é dada por A = x , y ∈ R 2 5 x + 6 y ≤ 30 ,   3 x + 2 y ≤ 12 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 , ou seja, pela parte de 5 x + 6 y menor que 30 , 3 x + 2 y menor que 12 e para x e y maiores que 0 .

Para facilitar a visualização, podemos isolar y em um lado da desigualdade

y ≤ 30 - 3 x 6 ,     y ≤ 12 - 3 x 2

Esboçando essas curvas no plano cartesiano, temos que

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora vamos obter as curvas de níveis de f que passa em A .

Se f x , y = - x - 5 y , igualando f x , y a uma constante, temos

- x - 5 y = C

Isolando y em um lado...

y = - x + C 5

Para descobrir quais valores de C podemos usar, vamos fazer x = 0 e comparar com o intervalo da região em que x também é igual a 0

y = - C 5 → C = - 5 y

Como y de nossa região varia de 0 a 5 quando x = 0 , C pode ser qualquer valor entre C = 0 e C = - 25 , ou seja

- 25 ≤ C ≤ 0

Escolhendo qualquer valor nesse intervalo, f passará pela região A .

Legal, né? 😎

Passo 4

Assim, vamos analisar os níveis - 20 , - 15 , - 10 e - 5 .

Para f x , y = - 20

y = - x - 20 5

Temos uma reta que passa em y = 4 quando x = 0 e em x = 20 quando y = 0

Para f x , y = - 15

y = - x - 15 5

Temos outra reta que passa por y = 3 quando x = 0 e x = 15 quando y = 0

Para f x , y = - 10

y = - x - 1 0 5

Temos uma reta que passa em y = 2 quando x = 0 e em x = 1 0 quando y = 0

E por fim, para f x , y = - 5

y = - x - 5 5

Temos uma reta que passa em y = 1 quando x = 0 e em x = 5 quando y = 0

Conseguiu visualizar essas características? 🤔

Passo 5

Assim, esboçando as curvas em cada um dos níveis, vamos obter algo aproximadamente igual a

Agora vamos juntar as curvas com a região e esboçar apenas as partes dos níveis que fazem parte da região A .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

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