2) considere a função f x , y = 2 x 2 + 2 y 2 - 12 x 2 - y 2 .

a) Esboce, no plano cartesiano abaixo, o domínio de f , indicando pontos que não pertençam ao seu domínio com linhas tracejadas. Determine as curvas de nível c = 1 e c = 2 de f e esboce suas imagens, também no plano abaixo.

b) Decida, justificando, se lim ( x , y ) → ( 3 , 3 ) ⁡ f ( x , y ) existe.

Passo 1

a) A função não está definida para valores de y = x , assim para a curva de nível c = 1 , temos:

E para c = 2

Passo 2

b) Para determinar se o limite existe a primeira coisa que faremos é substituir os valores de tendência de x e y diretamente na função e verificar se conseguimos calcular esse limite.

Assim, como

f x , y = 2 x 2 + 2 y 2 - 12 x 2 - y 2

lim x , y → ( 3 , 3 ) ⁡ 2 x 2 + 2 y 2 - 12 x 2 - y 2 = 2 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 0 2 - 12 0 2 - 0 2 = - 12 0

Como x e y se aproximam juntos de 3 , o denominador não tenderá a zero, ele será igual a zero e isso torna nosso limite impossível de ser calculado dessa forma.

Então, suspeitamos que esse limite não existe.

Passo 3

Vamos tentar calcular esse limite de outra forma, fazendo uma substituição de y = m x e calcular o limite através desse caminho:

lim x , y → ( 3 , 3 ) ⁡ 2 x 2 + 2 y 2 - 12 x 2 - y 2 = lim x → 3 ⁡ 2 x 2 + 2 ( m x ) 2 - 12 x 2 - ( m x ) 2

Que arrumando um pouco melhor, se torna:

lim x → 3 ⁡ 2 x 2 + 2 m 2 x 2 - 12 x 2 - m 2 x 2

lim x → 3 ⁡ 2 x 2 1 + m 2 - 6 x 2 x 2 1 - m 2

Simplificando, ficamos com:

lim x → 3 ⁡ 2 1 + m 2 - 6 x 2 1 - m 2

E calculando o limite, teremos:

lim x → 3 ⁡ 2 1 + m 2 - 6 x 2 1 - m 2 = 2 1 + m 2 - 6 3 1 - m 2 = 2 m 2 - 1 1 - m 2 = - 2

Maravilha, agora vamos tentar ver outro caminho, fazendo uma substituição de x = m y e calcular o limite através desse caminho:

lim x , y → ( 3 , 3 ) ⁡ 2 x 2 + 2 y 2 - 12 x 2 - y 2 = lim y → 3 ⁡ 2 m y 2 + 2 y 2 - 12 ( m y ) 2 - y 2

Que arrumando um pouco melhor, se torna:

lim x → 3 ⁡ 2 m 2 y 2 + 2 y 2 - 12 m 2 y 2 - y 2

lim x → 3 ⁡ 2 y 2 m 2 + 1 - 6 y 2 y 2 m 2 - 1

Simplificando, ficamos com:

lim x → 3 ⁡ 2 m 2 + 1 - 6 y 2 m 2 - 1

E calculando o limite, teremos:

lim x → 3 ⁡ 2 m 2 + 1 - 6 y 2 m 2 - 1 = 2 m 2 + 1 - 6 3 m 2 - 1 = 2 m 2 - 1 m 2 - 1 = + 2

Perceba que os limites calculados por dois caminhos diferentes deram resultados diferentes, então concluímos que o limite não existe.

Prontinho!!

Resposta

Resposta:

a) No desenvolvimento

b) O limite não existe.