22. Descreva e esboce as curvas de nível e o gráfico da função:

d) f x , y = x - y 2

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos obter algumas curvas de níveis da função f x , y = x - y 2 e esboçar o gráfico dessa função.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

As curvas de nível de uma função f x , y são conjuntos de pontos no plano x y onde a função tem um mesmo valor de z . Ou seja, as curvas de nível são os conjuntos de pontos que satisfazem a equação f x , y = z , onde z é um valor do eixo z .

Para plotar as curvas de nível de uma função, podemos utilizar um gráfico bidimensional no plano x y e traçar as curvas que correspondem a cada valor de z da função.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar definindo alguns valores de z para substituir na função

Podemos usar z = 0 , z = 2 e z = 5 .

Fazendo f x , y = z , temos

x - y 2 = z → x - y 2 = z

x - y = z

y = x ± z

Então genericamente as curvas de níveis vão ser retas como podemos ver na equação.

Para z = 0 , vamos obter

y = x ± 0

y = x

Nesse nível, temos apenas uma reta que passa pela origem do sistema e corta os quadrantes ímpares ao meio.

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Agora vamos fazer para z = 2

y = x ± 2

Logo, nesse nível vamos ter duas retas

y = x + 2 y = x - 2

Plotando essas retas, temos

Para o nível z = 5 , temos

y = x ± 5

E novamente vamos ter duas retas dadas por

y = x + 5 y = x - 5

Ou seja

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 4

E finalmente, podemos usar essas curvas de níveis para determinar o gráfico de f x , y em tr��s dimensões.

Esboçando cada curva em seu respectivo nível de z e estimando o comportamento da função entre um nível e outro, vamos chegar em

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta