Determine o domínio da função dada e represente-o graficamente. Esboce duas curvas de nível para cada função.

b )   f x , y = x 2 - y 2

Passo 1

E aí gente, tudo bom com vocês?

Nessa questão recebemos a função de duas variáveis dada por:

f x , y = x 2 - y 2

Sobre essa função precisamos determinar o seu domínio e representar o conjunto desse domínio graficamente. Além disso, também precisamos esboçar duas curvas de nível dessa função.

Beleza?!

Tá, mas vamos com calma em cada uma dessas coisas. Primeiramente, vocês lembram o que é o domínio?

Então, nada mais é do que o conjunto de pontos ( x , y ) que podem servir de entrada na nossa função sem que a gente tenha algum absurdo matemático. Ou seja, na prática precisamos verificar os pontos ( x , y ) que são restrição na nossa função.

Já as curvas de nível podemos calcular igualando a função f ( x , y ) a uma constante, tipo assim:

x 2 - y 2 = c

Daí, o enunciado nos pede para colocar dois valores pra essa constante c e esboçar a curva formada.

Show de bola! Vamos começar analisando se tem alguma restrição no domínio da nossa função e depois esboçamos o conjunto e as curvas de nível!

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom, temos a função:

f x , y = x 2 - y 2

Analisando essa função, vemos que a única restrição possível está justamente na raiz quadrada. Pois, o radicando de uma raiz quadrada precisa sempre ser maior ou igual a zero. Assim, precisamos que:

x 2 - y 2 ≥ 0

Logo:

x 2 ≥ y 2

Então, temos:

x ≥ | y |

Assim, vamos ter a seguinte conjunto para o domínio:

D f = x , y ∈ R 2       x ≥ | y | }

Esse conjunto pode ser representado no R 2 como:

Muito bom! Vamos para as curvas de nível!!

Passo 3

Como vimos no passo 1 , pra determinarmos a equação das curvas de nível, basta fazermos:

f x , y = c

Como queremos esboçar duas curvas de nível podemos escolher c = 1 e c = 2 . Vamos ter:

x 2 - y 2 = 1

x 2 - y 2 = 1

∴ y 2 = x 2 - 1

⇒ y = ± x 2 - 1

Para esboçar essa curva basta considerarmos o formato normal do gráfico da função y = x , mas como que y pode ser negativo, refletimos essa curva com relação ao eixo x . Assim, vamos ter:

Perfeito! Já se tivermos c = 2 , ficaremos com:

x 2 - y 2 = 2

∴ y = ± x 2 - 4

Teremos novamente um formato de curva bem parecido, mas a raiz ocorrerá em x = ± 2 . Logo:

Prontinho pessoal! Com isso matamos a questão!

Muito obrigado pela atenção de vocês 😊

Resposta

Resposta no texto.